0 0 类别 : 课件

分析： O B a A a C a PN a M a Q a 已知非零向量 , 请作出 : a + a + a 和 (–a)+(–a) + (–a) . a OC = OA+AB+BC = a+a+a = 3a -3a PN = PQ+QM+MN =(–a)+(–a)+ (–a) = 实数与向量的积 基本知识讲解 a a a a 1. 定义：实数 λ 与向量 的积是 一 个向量，记作 λ ，它的长 度与方向规定如下： （ 1 ） λ = λ a （ 2 ）当 λ>0时， λ 的 方向 与 的方向相同；当 λ<0 时， λ 的方向与 的方向相 反； λ=0时， λ = a a a a 0 a A aaaaa M a N a a3 C a a B 比较： 2× （ 3 a ）与（ 2×3 ） a AC = 2×(3 a) MN = （ 2×3 ） a 2× （ 3 a ） = （ 2×3 ） a 2. 运算律 ： a设 λ、 μ为实数， 、 为向量那么 （ 1 ） λ（ μ ） =（ λ μ ） ； （ 2）（ λ+ μ） = λ + μ ； （ 3） λ（ + ） = λ + λ 。b b b aaa aa a a 证明这些运算律成立的关键， 是证明等式两边的向量的模相等， 且方向相同。为了证明这些运算律 在任何情况下都成立，还需对各种 可能的情况，做较全面的讨论。下 面针对第（ 1）条运算律进行证明。 求证 :λ(μa ) = (λμ)a . 有一个成立，则求证显然成立 . 如果λ 、 μ 均不为 0, 且 a≠0, 有 证明：若λ=0 ， μ=0 ， a =0 中 至少 |λ(μa )|=|λ||μa|=|λ||μ||a| |(λμ)a|=|λμ| |a|=|λ||μ||a| 所以：|λ(μa)| = |(λμ)a| . 有相等的模和相同的方向，所以 这两个向量相等 . 综上，向量 λ(μ ) 与（ λμ ） aa 如果λ、μ异号，则求 证式子 两边向量的方向都与 反向 . a 如果λ、μ同号，则求证式子 两边向量的方向都与 同向 ;a 长度是 a 的长度的 μ 倍，那么当 a 与 b 同方 实数 λ, 使得 b =λa . 充要条件是有且只有一个 3. 定理：向量 b 与非零向量 a 共线的 反过来，若 a(a≠0) 与 b 共线， 且 b 的 对于向量 a( a≠0 ) 、 b , 如果有一个 实数 λ ，使 b=λa ，那么 a 与 b 共线。 向时，有 b=μa; 当 a 与 b 反方向时，有 b= -μa . 有且只有一个实数 λ ，使 b=λa 。 即，若 a(a≠0) 与 b 共线，则 (2) 若 b = 0 情况会怎样 ？ 思考： (1) 为什么规定 a ≠ 0 ? 实数 λ, 使得 b =λa . 充要条件是有且只有一个 3. 定理：向量 b 与非零向量 a 共线的 作用：判断两个向量是否平行，实 际上就是找出一个 实数，使 这个实数能够和其 中的一个 向量把另一个 向 量表示出来。 实数 λ, 使得 b =λa . 充要条件是有且只有一个 3. 定理：向量 b 与非零向量 a 共线的 例题精析 3 2 A E C N M D B 试用 a、 b分别表示向量 例 1 ABC 中， AD= AB,DE 与 BC 平行交 AC 于 E， AM 是 BC 边上的中 线交 DE于 N, 设 AB = a,AC = b, DN 、 AM 、 AN 。 AE 、 BC 、 DE 、 A E C N M D B 解： DE//BC AD= AB3 2 3 2 3 23 2  3 2 3 2AE= AC = b 评析 用已知向量来表示另外一些向量 是利用向量解题的基本功。除利用 向量的加减法和数乘向量等线行运 算外，还要充分利用平面几何的一 些定理。（如本例的相似三角形对 应线段成比例）。 解： A B C D E试判断 AC与 AE 是否共线。 例 2 如图，已知 AD=3AB,DE=3BC.  AC 与 AE 共线。  AE=AD + DE =3AB + 3BC =3(AB + BC) =3AC  A 、 B 、 D 三点共线 . 例 3 设 a 、 b是两个不共线的向量 若 AB = 2a + 3b ,BC = 6a + 23b,CD = 4 a – 8 b . 求证： A 、 B 、 D 三点共线  BD = 5AB 证明： BD = BC + CD  =6a +23b +(4a – 8b) =10a + 15b =5(2a +3b)  BD 与 AB 共线，且有公共端点 B， 向量共线的充要条件是实数与 向量的积推出的，要能通过充分性和必 要性 的说明，认识其本质，能证明几何中三 点共线和两直线平行问题。但应注意向 量平行与直线平行的区别，直线平行不 包括重合。 评析 课堂点评 （ 1 ）掌握实数与向量的积的定义 及实数与向量的积的运算律； （ 2 ）理解两个向量共线的充要条件； 并能进行灵活运用。 （ 3 ）对知识的学习要做到融会贯通。