反函数（第一课时）
如果在某个变化过程中有两个变量 X 和
Y , 并且对于 X 在某个范围内的每一个确定的值
，按照某个对应法则 , Y 都有唯一确定的值和它
对应 , 那么 Y 就是 X 的函数， X 就叫做自变
量， X 的取值范围称为函数的定义域，和 X 的
值对应的 Y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做
函数的值域。
函数的定义
记为： y=f(x)
反函数
（ 1）函数 y=2x的定义域是 ______,值域是 _______。如果由
y=2x解出 x=_______,这样对于 y在 R上任一个值，通过式子 x=
y2
1 ， x在 R上有 ________的值和它对应，故 x是 ____的函数。
R R
y2
1
唯一确定 y
这个新函数的自变量是 ______，对应的函数值是 _______。xy
乘以 2R R
1
2
:
x
2
4
:
y
原函数 : y=2x
2
4
:
y
1
2
:
x
R R除以 2
新函数： yx 2
1
完成下列填空：
如果由
（ 2）函数 1 xy 的定义域是 ________，值域是 ________。
1 xy 解出 x=_________,则对于 y在
的任一个值，通过式子 x=_________,x在 [-1,+)上有 __________
的值和它对应，故 x是 ____的函数。
[0， +)上
[-1,+) [0,+)
12 y
12 y
唯一确定
y
原函数：
1 xy表达式：
定义域：
值域：
[-1,)
[0,+)
新函数：
12 yx
[-1,+)
[0,+)
反函数 ,记为：
反函数的一般定义参见课本 P.60第二段。
.1)( 21 yygx
同样，在 (2)中，也把新函数 12 yx 称为原函数
,1)( xxgy 的反函数，记为：
在 (1)中，我们称新函数 yx 2
1 为原函数 y=f(x)=2x的
.2
1)(1 yyfx 改写为： ).(2
1)(1 Rxxxfy
改写为： ).0(1)( 21 xxxgy
反函数与原函数的关系：
原函数
表达式：
定义域：
值域：
y=f(x)
A
C
反函数
y=f –1(x)
C
A
例 .求下列函数的反函数：
)1,(1
32)4();0(1)3(
);(1)2();(13)1( 3
xRxx
xyxxy
RxxyRxxy
且
解：（ 1） ,3
113 yxxy 解得：由
).(3
1, Rxxyyx 得反函数为：互换经
(2) ,11 33 yxxy 解得：由
).(1, 3 Rxxyyx 得反函数为：互换
(3) ,)1(1 2 yxxy 解得：由
2)1(, xyyx 得反函数为：互换 ).1( x
(4) ,2
3
1
32
y
yxx
xy 解得：由
2
3,
x
xyyx 得反函数为：互换 ). 2 , ( x R x且
课堂练习：
P. 61----62. Ex.1 ---- 4.
P. 65 习题六 2.(口答 )
（ 3）函数 y=x2的定义域是 _____，值域是 _________。如果由
y=x2解出 x=_________,对于 y在 [0,+)上任一个值，通过式子
,yx x在 R上有 _____值和它对应，故 x____y的函数。
R [0,+)
y
两个 不是
是否任何一个函数都有反函数？
这表明函数 y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
小结：
1.反函数的概念及记号；
y=f(x)的反函数记为 y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
(1)反解 :把 y=f(x)看作是 x的方程，解出 x=f
–1(y);(2)互换：将 x,y互换得 y=f –1(x),并注明其定义域（即原函
数的值域 ) 。
3.若 y=f(x)的反函数是 y=f –1(x),则函数 y=f –1(x)的反函数就
是 y=f(x)，它们是互为反函数。
4.并非所有的函数都有反函数 [如填空 (3)]。
5.反函数原函数的关系：
作业：
P.65---- 66. 3.
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