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专题六 选修三、四中的模块分析（数学史和矩阵与变换） 第一讲 张思明： 各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学新课程国家级远程培训。我们 这一讲是谈选修三和选修四的模块分析，在这一讲中，我们重点从选修三和选修四中各选 择一个内容做一个重点的介绍，他们是选修三中的数学史和选修四中的矩阵变换。我先来介 绍一下，来参加我们讨论的几位嘉宾，我身边这位是江苏省苏州五中的罗强校长（江苏省 苏州第五中学 副校长 高级教师 罗强）。这边这位是首都师范大学的 张饴慈教授。（首都 师 范大学教授 张饴慈） 。那边那位是首都师范大学的博士生导 师王尚志教授。（首都 师范大 学教授 博士生导师 高中数学课程标准研制组负责人 王尚志）。欢迎大家参加我们的讨论。 那么跟前几讲一样，在这节课里面重点从选修三入手。来定一下选修三和数学史的价值（不 通）。首先我们请 张饴慈老师给我们大家介绍一下选修三。 张饴慈：我们的新课程，在选修里设计了选修三和选修四，选修三和选修四相比更宏观， 跟文化的联系更密切。我们并不要求这方面的高考。选修三的内容大概有 6个专题，一个是 数学史选讲，还有是对称与群，欧拉公式与闭曲面分裂，实际上涉及到高等几何，球面几 何，跟选修四的差分方程等内容相比更宏观，还有一个就是信息安全与密码，这是一个现 代数学很抽象的数论知识。还有一个三等分角与数域扩充，这里面蕴含很多的数学思想。这 些内容在所谓思想方面的宏观的意义更大，特别希望文科的学生可以能来学，所以我们没 有把这些内容放在选一、选二。 王尚志：我们希望能够讲三等分角不可能的问题，在数学发展的过程当中，在很长的阶段 是想证明这个问题。说“不”的时候，往往会使数学产生一个突变，比如说三等分角问题， 是要证明其不可能性。 张饴慈：这种思想，因为你要说这边不行，不能说我做不出来，或者是现在没有人做的出 来，你要说明今后无论什么人都做不出来，这样的思想方法是很重要的。 王尚志：另外一些说“不行”的就是黎曼等人对第五公设的否定，拉格朗日提出一元五次 方程没有求根公式，但是很遗憾，他没有解决，但是他希望别人去解决，这些都促使数学 发生了质的飞跃。所以我觉得，我们不应该仅仅从知识和技能的层面来认识这些内容，我想 应该把它看的更开阔一些。 主持人：通过两位老师的介绍，我们对选修三的价值的定位有一个初步了解，我们实验区 的很多学校，比如说北京，很多学校在以前，也有很多老师都开过数学史这样的内容，所 以我们想以数学史为突破，或者为一个麻雀，来解剖选三的内容应该怎么去对待，我们特 别想听一听苏州五中的罗强校长，是如何处理这些内容，开设这方面课程的。 罗强：在新课程之前，实际上我们也在把数学史融入到日常教学当中。新课程把数学史作为 选修三的一个专题，是促进我们数学教师关注数学史的一种方式，也促使教师把数学史更 好的融入到教学当中，促进学生的数学的学习，帮助数学教师的教学，我自己在教学中 和 很多老师一样，采用最重要的一个策略，就是把数学史融入到目前的教学当中。关于这一点， 实际上我们的很多的老师都积累了很多的经验，我跟 刘华老师也做了一个探讨，我们觉得： 一个就是以人物为线索，把重要的数学成果，通过人物向学生展示这是一个重要的方法； 第二个是以数学发展的历程为线索，向学生展示数学的产生、发展的一个必要性；第三个直 接从数学史中提取并创设我们课堂教学的情景。关于这一点，和刘华来对话。 主持人：让我们大家来看一看，罗强校长 和和刘华老师关于数学史教学的一个对话。 主持人：刚才我们看到了，两位老师怎样结合课堂教学的内容，融入数学史的教学给我们 做了直观的说明，我想两位老师对这种做法有怎么样的结论？ 王尚志：我觉得这种做法非常好。数学史在高中作为一个选课存在，老师可以运用自己的智 慧，采取各种各样的处理方式，发挥数学史课程的文化作用。关于数学史如何融入课程，我 听过很多老师的课，比如对解析几何有两种讲法：一种是结合解析几何初步，花一节课的 时间，讲一下解析几何概况，介绍一下解析几何产生的背景，以及解析几何对于数学的影 响，再结合高中的内容，如研究函数、三角函数时，我们运用解析几何的思想将会给我们带 来什么样的好处，然后再分析，在这件事情上，作出划时代贡献的，有笛卡尔和费尔玛等。 (插入笛卡尔的照片和生卒年月的介绍 )。 接着着重介绍笛卡尔，作为一个数学家，更重要的作为一个科学家，作为一个思想家，在 科学发展的历程中，所作出的不可磨灭的贡献。这是我们数学工作者的光荣，当老师向学生 讲授这些东西的时候，学生的感觉是不一样的。激发学生的学习兴趣，学习自信，总要有一 点精神的力量，那么这些内容就起到了这样一个作用。有的老师把这样一个报告放在解析几 何初步之后，我觉得也很精彩。讲到微积分的时候，或者是导数及其应用的时候，老师会用 一、两节课讲微积分的产生及牛顿、莱布尼兹的伟大功绩。 (插入两人的照片和生卒年月的介 绍 )。 我们把数学史的一些辉煌的成就和一些感人的事例，以一种精神的力量融入到我们的教学 中，会使我们的数学课变得非常的丰富，所以我觉得他们的设计，是很值得提倡的。当然并 不拘泥于一种唯一的形式，我们还可以开发其他的方式。有的老师把它作为一个专门的选题， 安排 18个课时，把这 18个课时，分布在三年的课程，结合具体的内容来讲授数学史。作为 数学史，按照 李文林老师的说法，有三种不同的研究定位，一种是为了历史的数学史，一 种是为了数学的数学史，学数学和研究数学的人能够从数学史中，继承传统的思想，发现 新问题，突破问题；第三种是为了教育的数学史，我们选修三的数学史，就是在第三层定 位上。这件事情只是开始，还需要我们 全体老师进行创作。关于数学史的开设，我们期待着 我们的老师，能够创造出更多更好的教学模式，教学顺序，以及教学方式。 张饴慈：开设数学史的形式可以多种多样，特别是可以根据不同的内容。 有的专题内容比 较丰富，如微积分的发展史；有的专题内容非常具体，可以就是几分钟的介绍，比如说对 数的出现，对数在当时运算上起了一个非常大的作用，使得学生对他所学的东西要知道为 什么要学这个东西？对它有兴趣，或者知道它的背景，不是单纯的去算那个。中学学的知识， 不是研究历史，主要是想让学生知道为什么要学？我们从小学一年级到高中毕业 12年，为 什么要学。一个是对我们自己的提高，另外要看看数学发展的背景，从教育的角度上，我们 设了这些专题。 王尚志： 3月 18号美国总统数学顾问委员会，给美国提交了一份报告，他们认为数学是一 个中心的学习领域，它叫做（ centry area of learning in the milldle school ），所以就是说我 们数学承担的任务，对于将来的普通劳动者是非常重要的。对于高层次的人才同样是非常重 要的，不仅于此，它作为一种文化熏陶人们的素质同样是非常重要的，所以我们应该更好 的来认识数学，认识数学在我们当今社会中所发挥的作用。比如，在某些地方可以帮助学生 了解二十世纪中期和现在的变化，数学最突出的成就是应用，它几乎渗透到了每一个科学 技术的领域，也渗透到了人文社会科学的许多领域，发挥着重大的作用，在文字学的研究 语言学的研究，经济学、金融学等诸多方面发挥着不可替代的作用。这样的一种认识，会激 励我们的学生学好数学，将来不一定要做数学家，但是会为他将来提供帮助。总统顾问委员 会的报告里也提到到这样的话，学数学帮助你打开大门，增加机会，提高收入。 张饴慈：关于数学，为什么要学数学，我们老说数学非常有用，跟学生老这么讲，你也可 以讲它非常的好的数学应用课，从太阳系的发现到 CT扫描，学生听了可能也很激动，但 是回来一做题，又觉得这个数学枯燥无味。这当然是教育上面的一些问题，我们现在强调数 学建模及应用，数学的作用还不仅仅在于此，我觉得数学最重要的是培养人的思维能力。我 们经常说打基础，到了大学还是打基础，打基础就没完没了。有些科学家，他也用到数学， 但是每个人用的数学都是很有限的。这就让我们思考，学数学做什么？从古希腊开始的所有 的几何结论（如三角形的三条高交于一点）都是靠大量的实验得出的。但是后来人们发现， 这个结果可以用另外一个结果套，能靠人的思维把它推出来。人们发现，人的思维，人的理 性有这么大的一个力量。人的思维方式，在生活中也起着越来越重要的作用，包括提高收入， 考虑问题，解决问题。我们要让学生知道，现在学这些东西，是在培养这种能力，对我今后 的一生的工作是有很大的作用，而不仅仅是学习知识。 主持人：两位老师都强调了数学和数学史的作用和价值，刚才罗校长提到了第一策略，就 是融入课堂的这个策略，您还有哪些关于数学史的教学策略。能不能给我们介绍一下。 罗强校长：第二个策略可以帮助拓展学生的视野，这里面也有很多的工作可以做，比如说 我自己在教学中就提供一些阅读材料，比如有意义的故事或者是趣闻，或者数学的应用， 可以贴在教室后面的墙上，供学生用，或者老师提供一些网址、网页让学生查阅资料，这也 是很好的学习数学的方式，还有一种，实际上就是我们刚才说的化整为零，进行数学史的 教学，还有一种我觉得就是就把选修三的数学史跟学生进行一个整体、系统的介绍，这也是 一个可行的办法，我自己在教学中尝试了一下。特别是古代数学史，在我们苏教版的数学史 中间是三节内容，我用了三节课整体进行了一个课堂教学设计。 罗校长：这个设计的初步想法是什么呢？就是说古代数学史史实非常的好玩儿，资料也非 常的多，很普通的上法就是变成一个历史课，向学生展示很多很多的史实，很多的人物， 很多的成果。但我想应该以数学问题引领我们的教学，所以在这个内容的教学中间，提出一 个引领整个三节教学内容的问题，关于这个具体的内容，来看一个东西。 主持人：我们大家一起来看， 罗强老师为我们提供一个教学设计。 主持人：从这个教学设计中，我们看到了 罗强老师提出了一个非常有震撼的问题，你怎么 找到这个问题，为什么找这个问题，李约瑟的猜想是怎么评价的？ 罗强：这个问题实际上也是我自己在备课的过程中思考的。要开展这节课，调动学生的学习 的兴趣及培养学生的理性精神，我结合自己以往的阅读，和对这个问题的思考，发现这个 问题是可以引入到这堂课的教学中，结合自己以往对这个问题的了解和思考，和学生探讨 和交流。 张饴慈：这样的课非常的好，要培养学生的理性精神，要讲道理，就要怀疑，不能迷信过 去教条，对问题都要问一个为什么？问题是开放式的，并不见得有唯一的答案。对于数学史 这样的问题，让学生有一些不同的看法，不同的争论，这才是真正的学习，而不是去背结 论，背教条，像背历史书那样。这节课把这样的一个问题引用到教学，对学生的思维能力有 一定的作用。一定不能把数学史讲成几条数学结论。 王尚志：罗强校长的设计有创新，引导我们中国学生对我们的数学历史有一个思考。这个问 题提的非常好，这不是只有大家才能思考的问题，我们每一个公民都应该思考这个问题， 我们中国为什么科学技术落后？那到底是什么原因，甚至我们可以拷问我们自己，是不是 应该为中国的科学技术进步做点什么？我们现在的学生不能只看到上北大、清华，如果只看 到上北大、清华，或者是出国，那我们的这个国家的发展会受到制约。我们的学生应该有更 多的想法，应该有一种精神。 罗老师选的这样的一个切入点，是一种震撼。我们希望老师能 够结合自己的情况有一些开放的想法。比如， 19世纪数学起什么作用，我们现在对 19世纪 所谓抽象化、形式化有什么样的反思，这样的思考，都有可能引领史料，作为为教育服务的 一个切入点。 利用数学史提高教师自身的素质和改善日常教学是非常重要的 比如在日常教学和考试中关 注恒等变形。回顾一下方程发展的历史，我们就会体会到，这种恒等变形，是一种盲目的技 巧，意义不大。我们的老师，积累的东西应该多一些，思路应该开阔一些，应该多知道一些。 这样的话，在同一节课里，你留给学生的将是系统、清晰的知识，即使是讲解细节的知识， 学生听起来也会清晰、易懂。原因在哪？看你对数学的理解的深度。我们希望老师，发挥我们 自身的聪明才智，为学生的发展提供更多更开阔的思维。这对于我们的学生尤其对中国的发 展将会起到一些积极的作用。 主持人：我们常说三维目标，包括对学生的德育的发展，情感、态度、价值观。很多老师在设 计数学课的时候，常常在一节课上做了所谓的穿靴戴帽，比如说辩证唯物主义。我们数学史 的教学中，又很多很好的素材可以进行这方面的教育。对于国家发展的关注，对于真理的追 求，包括非欧几何的诞生，很年轻的数学家在投入过程中怎么样面对困难。我们不需要特意 的把这些东西硕出来，让学生在这个过程中去体验数学、文化的震撼。我们也特别体会到怎 么像数学家那样思考问题，这对于培养我们学生的问题意识也非常大的价值。从数学史中， 我们找到了数学和数学的德育教育一个非常好的结合点。这一点，也是从罗校长的设计中学 到东西。作为选三，除了数学史之外还有一些其他的内容，我们介绍了它的数学文化的价值， 开拓视野的价值。现在老师们在选三的教学过程中，好多内容自己过去没有学过，对于一线 教师怎么解决好这样的问题，应该用什么样的心态对待选三的教学，是不是给我们老师提 出一些建议。 张饴慈：我想关于选三，从宏观上看内容比较大，如对称与群，欧拉公式与闭曲面分类， 涉及到拓扑学等高等几何的知识，涉及到比较多的思想。我们还是要讲具体的东西，让学生 能够接受，在讲对称性一定不是讲抽象的群的概念，是要讲图形的一些对称性，对称的变 换，通过这样来理解对称的性质。同样对于拓扑、欧拉公式这样抽象的东西，要通过很具体 的东西来让学生认识这样内容蕴含的思想。另外如球面几何，这跟传统几何非常不一样，有 很多不一样的性质。但和我们的实际生活、空间联系十分紧密，通过一些问题使得我们对事 物有些不同的思考。比如过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，那么这个结论 在球面几何中成立吗？一些表面看来是真理的东西，在不同的环境下不一定成立。这些数学 史的内容更注重开拓学生的一些思想。从这样的角度来认识数学史，但又不是抽象、很悬地 去讲这个问题，我们要通过一些具体、直观、实际的例子，使数学史的教学现得简单、通俗易 懂，同时也促进学生的思考。 王尚志： 张老师说得非常对，选修三的数学内容是比较宏观的，但需要载体。我们通过一 个载体使学生有一个新的认识。如对称与群，要开拓学生对运算的认识。学生学过传统的数 学运算，多项式运算，后来又学习了指数运算，对数运算，三角运算，复数运算，和导数 积分等等，这些都是运算的载体。为了解决一些问题，还需要从另一个角度去理解运算、矩 阵、变换，向量，这些都会使我们对运算有一个新的认识。另外运算最本质的东西是什么？ 最基本的法则是什么呢？因此，我们把对称与群作为一个内容，来开拓学生这方面的视野 而依托的载体，就是几何图形。通过载体来加深学生对运算的一个理解。如欧拉公式与闭曲 面分类，一个球戳一个洞和一个蜂窝煤，能不能通过连续变换获得，就像相机一样，做不 到位似的。我们通过这个引发学生对一些图形内在的关系的思考，用这样一个角度去思考问 题，对于学生将来的发展很重要。在新课程推进的过程中，我们看到了一个非常非常可喜的 现象，很多的学校开设了大量的校本课程，校本课程远远丰富于我们现在所学的。比如洛河 中学，就开设了 100多个学科，内容非常丰富。这不仅仅开阔了学生的视野，而且也张扬了 我们教师和学生的个性。现在我们中学老师的学位层次也很高，学位背景越来越好，我们是 把他们拉回来还是发挥他们的作用，让我们的学生有一个更开阔的视野，我希望我们学校 的领导冷静的思考这些事情，我们不要把高考划一个圈，我们就在这个圈里运作，这对于 中国的发展是非常非常危险的一件事情，所以我想开设选修课，开设校本课程，都是帮助 我们中国，或者是为了我们中国可持续发展的非常重要的举措。当然我们应该从一门一门的 课做起，把一门一门课开好，像罗校长一样能够有所创新。我们的创作最大的受益者是我们 的学生，所以我们期待着我们新投入新课程实验的老师，能够开发出更多更好的好的案例 来，我们大家一起来分享。 主持人： 王老师给我们这节课做了很好的总结。选修三的开设，对我们每一个老师都是挑 战， 罗强老师他们学校的很多老师都投入了这项工作，并有了很好的探索，给我们提供了 很好的课例，我相信在座参加研修的老师也会有这样的经验，也会有很多很好的案例希望 跟我们更多的老师交流。下一节课，我们将讨论选修四模块中的梗概，并以矩阵和变换为例， 展开探讨。欢迎老师们在下节课，继续和我们讨论这些问题，欢迎大家的参与，这节课我们 就上到这。