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专题一 高中数学课程标准的背景、理念、研制过程 第二讲 主持人： 各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程的国家级远程培训。在上一课里我们讲 了高中数学新课程标准的研制背景，我们也通过一些短片向大家介绍了我们数学发展的历 史和现代数学的发展。那么，在上一节课结束的时候王老师给大家介绍数学课程标准研制的 课程，以及在数学课堂标准中，课程目标的确立。那么，在这一节课里我们重点要分析数学 课程标准中的结构和它的内容变化的一些思考。 首先，我们先请张老师帮我们分析一下高中数学新课程标准中的结构。 张老师： 我们这次高中数学课程是在整个高中课程结构变化中进行的。所以，这里有一个突出的问题 就是选择性，这个选择性不仅是我们数学课的问题，整个各个学科都有这样的问题。所以在 整个的结构里面必须要照顾到这个选择性。选择性和基础性并不矛盾，我们是在基础，同样 是基础性的。那么，同样在所有高中课程里面，就是采用模块教学，这也是我们整个高中为 了便于选择性，整个课程做了模块教学这样的设计。那么，具体到我们的数学课程，我们大 概分了这么几块，第一块就是必修的内容，要求所有的高中学生必须要学的，一共是五个 模块。那么，这部分的内容，我们要求在标准的要求，如果一个学生能把必修的五个模块课 程学完以后，我们就可以认定他符合高中数学的标准，达到一个基本的要求。那么，对于将 来他搞一些文体，体育等这些知识就可以了。 那么，除了这个以外还设定选修内容，选修内容首先是两个系列，系列一相当于过去有志 于读文科的学生选学的内容，系列二相当于理工科这些同学，对数学要求比较高的同学选 修的内容。系列一有两个模块，系列二有三个模块。除了这个以外，还开了一个系列三和系 列四。系列三的内容，为了给学生更多的选择性，应用方面的内容，相当于介绍一些数学思 想的内容，像优选法、统筹等等。那么，选修三的话，也是一些思想。所以把它放在选修三、 选修四。就是说这样两个选修内容的话，不仅对理工科对数学有兴趣的学生来选，特别希望 对一些文科的学生也能够来学，开阔一些视野，而不是为了单单学理工的学生来学。 王老师： 我记得咱们在研制标准的过程中，很多文科的专家都呼吁希望能有一些数学基础 比较好的学生进入文科学习，这对于文科的发展是非常重要的一件事情。 张老师： 这样的话，我们在系列三、系列四的选修的话是以专题形式出现的，模块的话是 36个学时 一个模块，专题是 18个学时一个模块。那么，系列三的话，在标准的要求，它只是记学生 的学分，不作为高考的内容。系列四的话是要高考了。当然现在这样一个推行的话有一个过 程，从各个地方开始的话，也不可能就一步到位。但是就方向上尽可能的采取。基本上的结 构就是这样，另外，标准里面关于数学探究、数学建模就溶在教学里头，没有专门的设立模 块。 主持人： 但是有一个问题，就是像选三、选四的这个，10+6这些内容的依据是什么，谁来 选择了这些内容？ 张老师： 我想当初选三、选四的内容，包括专家，科学院的很多院士。当时的专题提出来不下四、五十 个，后来我们经过一些筛选，我们既要照顾现在中学老师的现状，有一些基本的内容放在 选修里面，把必修部分原来一些必念的，比如说不等式放在里面，另一方面我们也要考虑 现代数学的发展，而且是最基本的，能够接受。有些内容就像向量的内容，既是数学非常重 要的，又是中学生完全可以接受的，我们也想把一些反映近代数学思想的还有数学应用的 像华罗庚华先生搞得优选法，统筹这样一些东西放在里面。另外我们强调数学文化，数学史， 数学上一些比较重要的概念也放进来。当然要根据内容的多少，随着课程，将来可以更好的 选择，怎么加进来更好，但总的目标是这样的。 王老师： 我们大体上经过了这么几个阶段，第一个就是我回忆起来，我们收集材料的阶段，我想我 们收集了世界各国他们小学生选择性的课程。那么，我们做了归纳总结。另外，还有一个重 要的参考就是在 50年代和 60年代，可能我们年纪大一点的人印象都非常深，华罗庚先生、 段先生，这些我国一流的数学家，他们为中学生编写了一套小册子，这些小册子对于我国 一代数学工作者的成长起了非常重要的作用，这是我们一个重要的依据。 那么，在这个基础说，我们就罗列了大概 40多个选题。然后我们就开座谈会征求意见，让 很多数学家来选择，说哪一些选题是基础的，是重要的，在将来数学学习中，学生一旦了 解会对他们有帮助。我想不仅仅是为数学家做的。他们就勾了，我们就选定了其中的一批。接 着我们就在内部进行学习和报告，我想我们请了很多的相应方面的专家来做报告，请刘先 生，请徐先生，有好多都来。这个选题在数学发展中的作用和目前的一些情况。那么，我们 把它转换成为我们的语言，在内部进行报告。最后又选择了其中一部分在中学进行试验。我 想比如说对称与群，一些老师都在中学做了实验，我们也在中学做了实验。最后在这个基础 上，经过标准组的讨论，最后确定一下，选修三有六个选题，选修四有十个选题。刚才张老 师已经把这些东西的定位说得比较清楚了。 张老师： 有一些中学老师已经做实验了，虽然没有进到标准里，实际上我们现在非常广泛的在中学 老师当中实践，包括大学一些科研院所的提议，这些东西能不能在中学所接受，都一个非 常好的考虑。 王老师 ： 比如说分型刚才说了，江西一位老师做了长期的摸索和试验，非常好。虽然这次没有被选入， 但是我像它会为课程的发展做一个很重要的选择内容，将来或许在什么时间，在一旦成熟 了以后，也有可能成为课程的选择。我想至少很多学校可以它作为校本课程。 张老师 ： 因为有一个东西，就是说，要有选择性的话需要面广一些，才能真正体现选择性。但对我们 学生来说一定不是都要选，一定是就选几门课，但是，如果你把课开得很少，就丧失了选 择性，就变成必须选择的问题了。所以从学生本身来说，每个人选的不是很多，但是为了达 到效果，我们应该开更为广泛的课供学生选择。 王老师 ： 就是我们一直在议论一个问题，就是全国具有同样一个数学基础是不是好事？基本的东西 也很多。所以，如果大家有相对稳定的一些最基本的东西，还能有一些选择的空间，我想对 于中国整体发展应该是很重要的一件事情。 我想大学也存在类似的问题，比如说我们高等数学，可能都面临着逐步改进。最近也编了一 些新的教材，我想这些都可以，不同专业可能需要学的，选择的空间逐渐会宽起来。我们一 致认为这可能是课程发展的一个重要趋势。所以我希望我们的中学老师应该早做准备，适应 这个发展的趋势。有一个过程是可以的。所以，我们特别希望一些学校的领导，在建设自己 校本课程的同时，能逐渐的使我们的老师能够适应这些选择课程。那么，这样对于整个发展 应该是非常有好处的。也希望各学校主持教学的领导能够制定一些相应的计划，有一个前瞻 性的认识。当然，在目前实施的过程中，大体上不同的省采取的方针不一样，有的省是四选 二，比如说选修四，有的是四选二，个别省有五选二的，也有三选二的。那么，也有一些地 方是二选二。这些情况我想都是在新课程推进过程中一个反应，所以我想随着课程的逐步深 入，我们学生的选择空间会得到比较好的发展。 张老师： 对我们老师来说，也不是现在要求老师所有选修课都开，也是一个过程，而且老师应该有 所侧重，可能我对这个更感兴趣，或者我在这方面研究的深入，那么不同老师的分工就构 成了中学一个完整的选修课的系列。 王老师： 我们数学教育存在一个问题，就是中学老师知识面还是需要拓展的。我想这件事对于我们整 个数学教育是非常重要的。如果你胸怀容纳的东西比较多，那么你再讲任何东西的时候都会 有一个更好的结流露。我想这个是我们听到科学家和数学界几乎是一致的。 张老师： 我们这次课表制定的一个意图就是希望通过这样的课程能够使中学老师能在数学素养上有 所提高。 主持人： 我们做选择性的一个目标里的一个想法，看着对学生有选择性，其实要求对老师有一个自 主的发展的过程。那么，我想这里面，刚才老师们介绍了等于说增加了很多新的东西。还有 一些我们也看到了名称跟过去的内容是一样的。那么，我想进一步请两位老师帮我们分析一 下，在我们高中数学新课程标准中，哪些内容的定位变了？哪些内容做了调整？请两位老 师分析一下。 王老师： 我先简单的说一下，然后张老师再补充。 我想刚才司明说了，我们这次课程，张老师也不断的强调有几个关键词，第一个是基础性 一个是实战性，一个是选择性。可能这是我们制定高中数学的课程标准的基点，我们无论任 何一个都要符合这样一个要求。那么，刚才说了我们增加了一些内容，刚才说的是选修课。 那么在必修课里面增加了一个算法的内容。我想简单的说一下算法内容，为什么要增加算法 内容。那么，算法和我们计算机信息技术有什么差异，这件事情我们后面可能还要说。所以， 我想重复一下没有坏处。就是随着计算机的发展，数学解决问题的空间在大幅度的增加。解 决问题的手段也在发生变化。一个重要的手段就是利用计算机技术来解决我们数学问题。就 是过去很多数学问题不是不想解决，而是没有能力解决，尤其是在计算量上，比如说天气 预报的预测，比如说很多的一些现象的分析，由于我们没有这么强的计算能力和计算速度 所以我们就很难来做这些事情。现在，有了计算机，使得我们这些事情变得可能了。因此为 我们数学的发展奠定了基础。这是算法，进入高中数学课程的一个基点。那么，从国际课程 的发展趋势来说，现在一部分国家都把算法纳入了高中的课程，有一些国家，像日本，甚 至把算法放在初中的课程当中。 下面，我就来说一下算法进入高中课程的基本地位是什么？我想有两个目的。一个就是介绍 算法的基本知识。比如说算法需要帮助学生了解算法的过程，算法的思想。另外，还有一些 算法的基本结构，比如说顺序结构，选择结构，循环结构这些。还有一些简单的应用，当然 我们也增加了一点用我们通常所说的代码来表示算法的一种方式。但是，它不是重点。在算 法知识介绍中，重点或者不同于信息技术的地方，就是我们是数学课，数学课要强调的是 算法，解决问题的基本数学思想，能不能清晰、准确、直观的语言表述出来，这觉得这是算 法的核心。所以，画算法框图是我们要求的中心的东西。这个框图所起到的作用是把数学解 决问题的过程清晰、准确、直观的表述出来。这是我们第一件事情。 第二件事情，算法是一个程序化的思想，我们数学解决很多问题，都是体现在一个一步一 步完成的过程。因此，把算法思想融在我们整个数学教学中是这次课程标准的一个指导思想。 那么，关于这一点我们将在下一讲中再仔细的分析。我想这是以算法为代表的，在必修内容 中增加的内容，在必修和选一选二中增加的内容这是做一个说明。 张老师： 我想关于函数，我们知道函数是贯穿在整个中学，甚至小学数学里面都要出现的，在小学 里面，我们知道了速度、时间，正比例、反比例的概念。一直到高中，贯穿了整个中学的主线。 但是，我们在过去，在讲函数的时候，过分在知识点上下功夫，没有整体的来把握函数。所 以，这次要求整体来把握函数。那么，既然整体把握，就要知道哪个是重要的。这样在定位 上必然要考虑。以前一个一个知识点讲授，就没有分清主次。我们现在整体把握，函数在我 们，主要研究当一个量变化，自量变了，因变量怎么变，这个关系是一个什么样的关系。那 么，这部分作为重点讲了，那么我们对函数的一些东西，比如定义域值域就淡化了。这就是 跟以前不太一样的，我们就更加强调单调性，强调变化的周期性，对于奇偶性，因为奇偶 性依赖于坐标的选择，相对来说它的定位就不如单调性高了。单调性就变成函数最重要的性 质。函数的极值问题都依赖于单调性。在必修的内容里面我们把反函数的概念，虽然很重要， 但是我们把它淡化掉了。我们只要求对数函数和指数函数互为反函数，对一般反函数并不要 求。比如说我们对 幂函数 ，虽然我们现在标准出现了这个词，但是实际上我们还是只要求 几个很具体的，比如说 ， ， ， ， 只要求几个具体的。我们所以把幂函数这个词提出来是 想跟指数函数、对数函数增长速度做一个对比。 我想在这些定位上函数的变化是依赖于整体把握的结果，把什么是函数是重要的，什么函 数是次要的。不像过去在一个一个知识点上强调，比如说我们强调从具体到抽象，我们就不 是一个学术著作，先是抽象的定义，举一个例子，先讲映射再讲函数，我们是从具体的， 大量的函数，最后抽象到一个定义。就这样一些变化，都跟原来的定位有所不同。所以老师 的观念要改变。一方面要知道哪些定位做了变化，另一方面要知道为什么有这些变化。 王老师： 我想咱们明天在主线分析的时候还会更细致的分析这个问题。我觉得另外一个结构性的变化 就是几何课。我希望我们老师特别关注一下几何课程上结构的变化。 我们首先，明天可能我们也有详细件这个事，今天我们提一下。那么，首先从知识层面，在 结构上就发生变化。所以关于立体几何的学习分两个阶段，一个是立体几何初步，一个是空 间向量与立体几何。我们特别要注意，立体几何初步的学习，对于文科学生来说，那么，就 学这些立体几何的支持就够了。那么，对于理科的学生要继续学习空间向量与立体几何。那 么，解析几何我们也分成两个组成部分，一个是解析几何初步，以圆和直线为载体，初步 体会解析几何的思想。那么，到了选修一，选修二中，我们还有以圆锥、曲线作为载体，进 一步学习解析几何的思想。当然，我们希望我们的老师能够考虑为什么圆和曲线这么重要？ 因为，我想主要原因，除了解析几何思想是解决数学问题非常重要的思想之外，那么圆锥 曲线是我们物理学习中最基本的模型。力学模型和光学模型，几乎我们大部分的光学仪器都 是以圆锥曲线和圆锥曲面的光学性质来完成的。所以，我想我们老师要了解这些结构上的变 化。 另外，就是几何还有一个贯穿在整个高中课程中的一个东西，就是强调我们通常所说的空 间想象能力或者叫几何直观的能力，或者说我们老师最爱用的词叫数形结合的思想。我觉得 这些都不是在一个知识点或两个知识点上体现的东西，而是作为一个课程的整体的一个指 导思想。所以，我们希望老师在理解新课程变化的时候，对于这种结构性的变化，应该有一 个认识。而在这种结构性的变化，它所依托的知识载体也发生变化。比如说向量的作用，在 整个高中数学课程中，就和原来所强调的有所不同。我们更凸显了向量在认识数学中的作用， 将来我们分析的时候还要具体的说。因为，向量，像函数一样是在我们数学里不多的，非常 重要的一个东西。于是我们整个几何课程就经历了这样一个过程，原来是综合几何，发展到 综合几何与向量几何并重，现在基本上发展到我们基本上对于向量几何来思考更多的空间 几何的东西。这在大学的数学学习中，恐怕这一点是极其重要的。那么，这是几何课程，函 数。还有概率课程可能也发生了一些定位上的变化。 张老师： 我就说说从标准来看的话，我们把古典概型在必修部分讲，技术原理，我们只对一些将来 学理工的去要求，放在了高二年级系列二，那么不讲排列组合而讲古典概型，这是我们这 次课程一个很大的变化。所以会有这样的变化是我们要知道我们概率课的目的是什么，我们 概率课的目的是要培养学生对随机现象的认识，培养他的随机观念。而排列组合这样的计数 原理的话，它是一个记数的问题，属于集合里元素个数的问题。那么，由于排列组合本身来 说，在中学里也是比较困难的问题。那么，过去把排列组合放在古典概率之前的话，就把古 典概率教学变成了一个排列组合计数原理的一个教学，就冲淡了对随机现象的认识，就把 所有的困难都放在那了。所以，我们现在更强调 如何认识随机现象 ，特别是日常生活中出 现的随机现象，而不是把它变成一个计算计数的问题来做。同样我们老师要知道不用排列组 合，就用一些简单的东西同样可以很好的来认识随机现象，甚至能更凸显随机现象问题。这 是在随机现象里的变化。 王老师： 我补充一点，就是这种变化不仅在中学，在大学也在发生着相应的变化。比如说，我们以前 在大学所学习的统计概率课程，是重概率轻统计。那么，现在呢，应该说在大学数学系，包 括其他系与数学有关的系，统计课程所占的位置就大大的凸显出来了。尤其是希望帮助学生 在统计学习当中，在数据学习中，去体会随机思想。我想这都是非常大的变化。 另外，在大学的概率课程中，古典概系的分量随着发展会大大的削弱，就是说我们千万不 要理解成为概率论主要就是研究古典概型的，古典概系只是刻画一种概率现象的数学模型。 所以，我想这些变化的趋势，可能都不是我们仅仅是高中课程变化的趋势，而是整个数学 教育变化的趋势。我们希望高中老师，把自己学习的过程和现在变化的趋势，同时做比较， 这样会对我们教学的定位会有一个很好的理解。所以，我想刚才张老师讲到的这个关于概率 课程为什么不讲计数，直接讲概率，这就是一个非常大的变化。在实践的过程中，我们感觉 老师对这个问题可能还是有一些障碍，还愿意更多的把注意力集中在如何讲计数，甚至很 多老师要把计数相应的东西都补上来。我们特别建议老师，首先要帮助学生对随机思想有一 个很好的认识。那么，什么叫随机思想？怎么在我们必修课程中帮助学生落实？要解决这个 问题，关于什么是随机思想，我们明天再做具体的分析。 那么，然后到计数这个课，你倒可以适当的把它和概率作关联，在计算特殊的一些技术问 题中体现一些古典概型中总体和样本所含元素多少做一个计算。我们建议，不要在讲概率课 之前增加很多关于计数的负担，这样有可能舍本求末了。我说一句不恰当的比喻，如果在天 平的两边，一个是随机思想的认识，一个是计数，我想对随机思想的认识的分量要大大大 于对计数技能的掌握。所以，这个是我们非常希望老师能够有一个明确认识的一个方面。所 以，我觉得这是一个大的变化。我们希望老师能够理解，比如说将来的趋势有可能关于离散 随机变量的作用，可能会不断被强化。 张老师： 随机现象的认识是有一个长期的过程。 王老师： 应该是很困难的，就是对于随机的认识特别是要结合在日常生活中碰到的一些现象来认识。 我们经常发现有很多误解，第一次摸球有四，第二次摸球有四，连着十次都有四，那问第 十一次摸球的时候，有人就可以说，前十次都是四，那么十一次肯定也是四。也有人说前十 次都是出现四了，第十一次肯定不至于出现四了。那么，到底哪一种说法对呢？还是哪一种 说法都有问题的呢？这就是我们要解决的观念上的问题，那么这种问题的解决是更重要一 些。 另外，在其他的一些课程定位上面也发生了一些变化。我想为什么我们不用简易逻辑这个词， 而改用常用逻辑用语。这是这次改革的一个，应该说比较重要的一个变化。那么，我想我简 单的说一点，张老师再补充。 那么，我们逻辑本身是一个独立的学科。简易逻辑常常可以认为是逻辑学的一个初步。那么， 除了逻辑学之外，在数学中还有另外一个重要的学科，叫数理逻辑。数理逻辑是目前计算机 的基础，那么，过去我们在讲逻辑知识方面的定位，是倾向于，或者蕴含着这样一种倾向。 就是作为逻辑学的基础，或者数理逻辑的基础。那么，我想这一次，我们做了调整。在做这 个调整之前，首先我给中学老师介绍了一个背景，就是在我们 70年代末的前后，在数学界 曾经有过一种争论，就是在我们数学课程中是不是要加一个集合论基础的课，要不要加一 个数理逻辑基础的课？这是当时比较，叫波尔巴基学派（同音）推动下所谓形式化数学教 学的一个表现出来的一个比较激烈的一个争论的焦点。因为，我们在分析讲多元函数的时候， 讲实变函数的时候，讲抽象代数的时候，将泛函分析的时候，都需要补充一些关于特殊集 合的解法。那么，这个时候就提出问题，要不要一个在我们上数学系课程初期，加一个集合 论的基础，或者加一个数理逻辑的基础。 那么，经过一段激烈的争论，大家几乎达成共识没有必要。我们专门做数学的人，专门做方 程的人，专门做半函脱普，各个学科的人，都没有必要专门去做一个集合论的基础课。你需 要你就结合你的学科补充一点集合论的知识，集合论的表示就够了。所以，我想这样的一个 争论对于我们目前老师关于理解常用逻辑定位是一个方面。 所以，我们基本上没有采纳这样一个说法，就是要说集合论基础或者数理逻辑基础的这样 一个建议。我想这样的一个问题同样反应在我们过去常用逻辑用语或者叫简易逻辑的定位上。 那么，我们常用逻辑用语不是为逻辑学做基础，也不是为数理逻辑做基础，常用逻辑用语 的基本定位是要帮助我们的学生理解，在我们数学学习过程当中，经常使用的一些常用逻 辑用语，它们如何在我们数学学习中和数学思考中发挥作用。我想这个定位上的变化是非常 明显的，可能我们在定标准的过程中，为这件事情，我们大概争论了几乎有半年的时间， 最后选定。 那么，什么是我们最基本的常用逻辑用语呢？我们想最主要的应该是充分条件，必要条件 充分必要条件和我们通常所说的存在量词和全称量词，这是我们在数学中经常经常用到的 最基本的逻辑用语。那么，充分条件和我们数学直接联系的就是判定定理。你要判定一个东 西是什么？那么你要用到实际上是充分条件。在什么条件下这个事务是另一个事务。必要条 件的重要性，是在我们数学的学习中以另一类重要的，所谓性质定理。判定定理是判定一个 事务是另一个事务，性质定理是区别两个不同的事务。我和思明的差异只要用戴眼镜就可以 区分。戴眼镜的是王老师，不戴眼镜的是毛老师，戴眼镜只是王老师一个性质，不戴眼镜只 是思明一个性质。所以，这些东西在数学学习中和数学思考问题过程之中是重要的。而充分 必要条件呢，是更重要的一个数学思想，就是我们认识一个数学事务，常常需要从不同的 角度去认识。 举一个例子，垂直关系是数学当中最重要的一个关系，我们有三个角度，一个是几何的角 度，两个直线垂直，我们可以用几何的准确描述，就是两个直线所呈的夹角是 90度，这是 几何上的语言。因为角度的度量是几何的基本研究对象。那么，我们有另外一个角度，简易 集合的角度。当两条直线的斜率都存在的时候，那么，这两个直线垂直，我们就可以用解析 几何最重要的概念斜率来描述，两个直线斜率的乘积等于负 1。第三个重要角度就是向量的 角度，因为向量可以刻画直线的方向，这两个方向满足什么条件是相互垂直的，我们用向 量的语言就是说，这两条直线的方向向量点乘为零。那么，我们知道在这三个条件同时存在 的时候，成角与 90度与斜率乘积等于负 1，与方向向量的定乘等于零是互相充分条件，这 样就形成了我们对于垂直关系一个多角度的认识。我觉得这是充分必要条件的核心的东西， 而不仅仅是从 A 可以推出 B ，从 B 可以推出 A 这样一个关系。 张老师： 都要从具体的内容来认识。而不是抽象的谈这个东西，比如说直角三角形，完全是一个角的 定理，但是勾股定理完全从边脱开角就能把这个刻画出来，这样的一个等价关系是非常重 要的，反映它非常本质的东西。而把它抽象成A推出 B，B推出A把这些东西都丧失掉了。 王老师： 在中国数学科学院的楼上，就造了一个直角三角形，旁边有一个公式 A 方加 B 方等于 C 方。每天晚上向太空发表信息，那么什么意思呢？就是看哪个高级人类乘着宇宙 飞船路过地球的时候，会发现有他们共同的语言。是不是跟我们来往来往，那么，实际上这 就是我们一个很重要的一个描述。使我们看到直角三角形和这样一种代数表示之间的等量关 系。 那么，量词是这次加上的内容，量词对于我们是非常重要的。我觉得首先是在我们日常生活 中是最常用的一个逻辑用语。每一个人都会唱《东方红》。是什么概念？我们这一些人里每一 个人都会唱《东方红》这个事实不正确是什么意思？等等，这些在我们日常生活中都是非常 重要的。我们这个班上，有一个学生，至少有一个学生会制作航模。那么，他的反面是什么 意思？这些在我们日常生活中都是非常多见的。 张老师： 而且，这个观念理解得清楚，认识得清楚，对提高我们思维会有帮助。 王老师： 我想在文科学生学习，数学里，像这些对象都是非常非常重要的。 那么，当然在数学上这就不用说了。我随便举一个例子，比如说有界，就要连续的用到两个 量词， ，在 上有界，我们就需要连续用两个量词。第一个是存在量词，就是一定存在着一 个大于零的数 M ，使得对于 上的任何一个点 x ， 的 绝对值都小于等于 M ，那么这个 在 上就有界了。这些都是量词的使用，在数学上大家对于极限的刻画也需要连续用三个量词。 这些问题才是学习数学中，用数学思考问题中最关键的，理解这些用语远比形式的去理解 A 可以推出 B ， B 也可以推出 A 要重要重要得多。所以，我们现在在教学中看来有些老师 还在抠什么是命题，建议不要做这些工作，没有必要。对我们数学的学习也没有直接的作用。 张老师： 我希望学生用真正的思维来认识这个问题。而不是在真值表上，1，0，0，1，把它变成很形 式的东西，这样无助与我们对数学的认识，也无助与提高人们思维的能力。 王老师： 所以，我们希望在学习常用逻辑用语里面帮助这样两件事，一个就是拿例子说话，理解我 们数学学过的重要的结论，平行四边形重要，平行四边形就有一系列的充分必要条件，用 变换来认识平行四边形，用平行来认识平行四边形，用边的长度来认识平行四边形，对不 对？那么，就形成了我们对平行四边形这样一个重要的数学研究对象的一个比较全面的认 识。 我觉得这个是最重要的，所以我们希望在常用逻辑用语的教学中，能够帮助我们更好的认 识我们学过的数学和我们将要学的数学。 第二件事，就是希望我们老师也可以把常用逻辑用语的学习当做一种梳理的指导思想。把我 们学过的数学知识，哪一些是我们主要研究的对象，这些对象有哪些是判定定理，有哪些 是性质定理，我们做一个全面的梳理，这些重要的数学对象，能不能从多角度给予认识， 有没有充分必要条件？我想这些才是我们对数学学习最有用的东西，也是最重要的东西。 张老师： 另外，在导数和微积分这部分的定位跟以前有很大的不一样。传统的做法，以前是先讲极限 理论，讲连续函数，之后给导数下定义，那种学科的逻辑体系，现在不是采用这种体系， 我们采用人们对导数的一个自然的认识，从变化率这个角度来认识。先有匀速运动，然后考 虑变速运动，先从平均变化率，最后到瞬时变化率。我们有很具体的速度、时间、路程来讨论 这个问题，使得学生能够认识什么叫平均变化率，什么叫瞬时变化率。这些东西我们不在存 在性上了，我们都是在学生所直观的认识上，速度基于速度，有一个很自然的认识，从这 样来认识一般的东西。 毛老师： 我们来强化这个认识。 张老师： 对，能够让他认识在自然界当中都有这样的变化，无处不在。通过这样的学习使他对导数有 所认识，过去的教学，包括大学的教学，使得学生会算，但是例子举不出来，也不知道怎 么来应用。现在我们翻过来了，从牛顿的时候，随着自然科学我们怎么来认识，导数怎么产 生的我们从这个角度来认识，是很自然的，不是在理论上，特别是在中国。那么，我们强调 了思想，强调应用，我觉得这一点也是变化非常的一点。 王老师： 我做一点补充。就是我们这个定位的变化也是刚才张老师反复强调的，我们并不是先讲一般 的极限理论再回到导数极限上，而是我们抓住导数这样一个最重要的极限，帮助学生有一 个初步的认识，也就是帮助学生加深对他们所已经形成的瞬时速度的认识，我想这是我们 最核心的一个定位。也是一个大的变化，而不是我们学科性的一个完整的展示。我觉得这个 是很重要的一个定位上的变化。因为，我们现在是高中。 第二件非常重要的事情，就是还要回顾一下数学发展的历史。17世纪到 19世纪的数学，是 数学发展上最辉煌的时期，我们近代数学几乎每一个思想，都可以在 17世纪 — 19世纪数 学当中找到它发展的雏形，也是最活跃的一个时期。当然，它并不是十分严格的一个时期。 所以，17世纪最大的贡献，我想一个是微积分，一个是解析几何，还有一个随机的认识。 有人归结为两个或者是三个。那么，这些东西都不是以严格作为前提来在我们自然科学发展 中产生作用的。 所以，牛顿当时引入微积分的时候，建立导数概念的时候，甚至连导数和连续之间的关系 还不是很清楚。但是，并不妨碍他使我们整个科学技术敞开了大门。开拓了我们科学技术黄 金时代。我觉得这一点是我们特别需要借鉴的一个历史的一个经验。 所以，我觉得我们不是在中学阶段，不是要给学生一个完整的体系，而是要选择这个体系 中对我们看待世界最重要的观念帮助学生形成，这对于学生将来的发展是非常重要的。所以 这是张老师反复强调的。 张老师 ： 严格是相对而言的，对我们学数学的来说，可能要讲实数理论，才能讲清楚极限，讲清楚 连续。但是，对于一些学物理的来说，他们就不用再实数理论上下功夫，也能够对微积分有 一个很好的认识，对于不同的人应该有不同的要求，特别是对于高中来说，要把握的是微 积分导数实质性的，而不是在严格性上下功夫。我觉得严格性要过分的话，反而会把实质的 东西而冲淡了，我们花大量的时间去研究极限，研究连续性，到最后导数一带而过，这样 就本末倒置了。 王老师： 所以这是课程的一些大的变化，刚才我们说了一些大的变化。当然刚才前面张老师也说了一 些小的变化。比如说我们不再花大功夫去强调所谓定义域和值域的计算，也是和这个大变化 有关系的。 张老师： 我觉得在我们这次课程里面，还有一个比较大的变化，和严格性有关系，我们都是从具体 到抽象，就是我们强调案例教学，在统计，在算法，在各个方面我们都希望培养学生这样 一种抽象的能力，而且这样的过程而是自然的过程。我们强调的过程，在统计里，强调通过 案例来教学，不是搞的各种各样的知识点，去算一些数，画一些表格，在算法里面尤其这 样，我们都是通过大量的案例在思想上，我觉得这是这次的不同。课程定位的变化都是以这 个为依据的。 王老师： 尤其在中学的教学中，可能这样处理才能帮助我们学生更好的理解一些概念。我们比如说讲 函数的概念，我们可以有两种讲法，一种是先讲映射，再讲函数，再讲具体的函数。我想我 们一定不能，事实也不是这个样子，你理解清楚映射就一定能懂函数，你懂了函数的概念 或者说你明白了函数的定义，你就能很好的掌握指数函数和对数的函数。我想我们老师都是 教数学的，一定不是这个逻辑。反过来说，那么，我们学指数函数，很多具体函数，然后从 这些具体函数去体会函数的定义。从函数中再体会映射，我想这样两个角度我们都不可偏废。 所以，我们在教学的过程中，如果你采用第一个角度，从映射讲函数，从函数讲到具体函 数也不是不可以。但是，一定要帮助学生形成另外一个角度的认识，那么就是说这些具体函 数的具体特征如何体现函数的一般思想。这两个把握不好，就会使学生对数学产生误解。我 觉得这些是我们在定位上的一些变化。 比如说类似的问题我们还有一个，就是说对几何的认识，也有两个角度，一个是从局部到 整体，比如说欧式几何强调的是就是点、直线，射线，线段，角度，三角形，四边形，是这 样一个从局部到整体的过程。那么，我想还有另外一个过程，然后接着到空间图形等等。那 么，就是从整体到局部的过程。我们的孩子可能更容易从整体中获取几何的信息。因此，我 们在课程中一再强调两个方面都需要给予关注。而我们不能单纯的去强调单一的逻辑体系。 尤其是从数学的发展中来说也是这样子的，比如说现在对几何的研究，比如说 微分几何的 研究 ：，可能重点是整体的东西。也就是首先我们对于几何研究对象的整体有一个认识， 再去认识它的一些局部问题。所以我想所有这些和我们数学的发展都是一致的。 张老师： 这里面对数学的认识，拿映射跟函数来说。映射的概念更抽象，但是，函数要具体一点，它 含有的内容更丰富。就是说具体的东西，一般和个体都各有特色，并不是说这个就高级一点。 有的具体的函数就比映射要丰富，到二次函数又更丰富了一些。所以对于数学来说，一方面 要从一般的来说，另一方面要考虑具体的个性。所以说色彩缤纷的具体的数学内容是更重要 的东西。所以，我想一定是在大量具体内容的支撑之下，不要认为这个函数就高于那个。而 且我们的教育，我们的认识跟写一本学术著作，建立一个公理体系是两回事情。因为我们在 育学生，要符合学生的认知规律，符合一个从具体到抽象的一个认知的想法。 王老师： 所以我们这次和中学老师接触的时候，我们经常愿意请中学老师关注的一个观点，对于任 何一个抽象的数学概念，都要帮助我们的学生脑子里一定要有一批具体的实例支撑对这个 概念的认识，否则就不可能理解这个抽象的东西。 主持人： 两位老师非常具体的帮我们分析了高中数学课程标准中内容定位的调整和变化，并以一些 非常具体的知识点做了变化的思考和它的背景分析。我想这是我们研读数学课程标准的开始， 每一位数学老师在参加高中数学新课程培训的时候，可能会想到，希望尽快拿到教材，希 望了解知识点发生了哪些变化，希望问怎么去教，希望问我哪些知识还没有掌握？其实更 重要的是，我们应该对数学的变化，数学课程的变化和标准在这些变化下的表现有一个新 的认识。 那么，这一讲我们希望帮助老师开始走出这一步。后面结合这一讲的内容，我们给老师准备 了一些思考题，是这样的，第一题请老师们认真研读数学课程标准，了解标准和大家现在 使用过大纲的一些主要变化？第二个问题是，数学课程标准提出了哪些基本理念，它对我 们理解和把握数学新课程有什么启发？第三个问题是高中数学课程标准提出了哪些课程目 标，它对我们思考和把握高中数学新课程的教学有什么启发？第四个问题，我们希望具体 一点，以必修第一模块为例，因为我们马上就要做这方面的教学，自己分析一下和过去教 材教学目标，教学要求的异同做一个模块的教学安排和设计。那我们在后面的讲座里，我们 将具体的来分析把握高中数学课程的一种思想方法，就是整体把握，这是我们一个高频率 的关键字，然后我们还要进入教学设计的一些分析，欢迎老师继续参加我们的研修和讨论 谢谢大家。