0 0 类别 : 试卷

陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 数学试题的“理想源” ———— 探究高考数学试题的编拟 （礼泉第一中学 王培博 陕西 礼泉 713200） 摘 要：本文就近年来的高考试题探索高考试题的产生规律，分别以概念为“源”、以常见的数学公式定 理为“源”、“类比”是最好的的试题“源”三个方面寻求能够活化数学知识、提升数学能力的数学试题 “理想源”。 关键词：数学试题 理想源 高考数学试题的命制，最理想、最基本的“理想源”自然是现行高中数学课本涉及的定理、公式，课本 中的例题、习题的变式、演绎，往年高考试题，历届中学数竞赛试题，各地优秀的模拟题。这是一个试题的 海洋，许多学生对知识的串、并、结网和形成框图能自如掌握，但是，就如何以最少的试题量驾驭试题的 海洋，还是一筹莫展，本文就近年来的高考试题探索高考试题的产生规律，寻求能够活化数学知识、提升 数学能力的数学试题 “理想源”。 1、 以概念为“源” 1、如正纯小数为“源”： 案例 1：从“0 1a  ”出发，利用不等式性质，可做如下思考， 0 1a Q 则 1 1a  ， 11 1aa   ，联 想指数函数 xy a （0 1a  ）与对数函数 logay x （0 1a  ）的单调性质有结论： 11 1 aaa a  ， 1log (1 ) log (1 )a a aa   ，于是有 2004年辽宁省试题：对于0 1a  ，给出如下四个不等式 ① 1log (1 ) log (1 )a aa a   ② 1log (1 ) log (1 )a aa a   ③ 111 a aa a   ④ 111 a aa a   其中成立的是 A①③　　　B①④　　　C②③　　　D②④ 案例 2、如以正纯小数和平方差公式为“源”：从“ 0 1a  ”，“     21 1 1a a a    ”出发，作等 价变形和放缩有：       21 11 1 1 aa a a     。即可得结论：     11 1a a   ， 同理有：       21 11 1 1 aa a a     ，即可得结论     11 1a a   再进一步精细不等式得：     10 1 11a a    和     11 1 1a a    引入和运用对数函数  1log ay x （0 1a  ）和  1log ay x (0 1a  )单调性有结论：    1log 1 0a a   ；    1log 1 0a a   ；        1 1 1log 1 log 11a aa a     ，从而有    1log 1 1a a   ； 1 陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200      1 1 1log 1 log 11a aa a     ，从而有    1log 1 1a a   。 于是有 2005年山东省高考题： （05年山东卷）0 1a  ，下列不等式一定成立的是（ A ） （A） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) 2a aa a     （B） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a    （C） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a     (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a    （D） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a     (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a    二、以最常见的数学公式定理为“源” （1）、平面向量量基本定理： 平面向量量基本定理的讨论和平行四边形法则是近年高考数学试题产生 的“高频源”，如：以高中现行教材《数学 第一册（下）》第 117页例 5“如 图 5-20， ,OA OBuuur uuur不共线， ( )AP tAB t R uuur uuur 用 ,OA OBuuur uuur表示OPuuur” 。本题 的一个重要推论就是“平面上三点 , ,A B C共线，则存在实数 , 满足， OP OA OB  uuur uuur uuur且 1   ”。 案例 1、（2006年辽宁卷）设 (0,0)O , (1,0)A , (0,1)B ,点 P是线段 AB上的一个动点, AP ABuuur uuur ,若 OP AB PA PB  uuur uuur uuuruuur ,则实数的取值范围是： (A) 1 12   (B) 21 12    (C) 1 212 2   (D) 2 21 12 2    (1 ) (1 , ),AP AB OP OA OB          uuur uuur uuur uuur uuur解: (1 ) ( 1,1 ), ( , )PB AB AP AB AP AB              uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2(1 , )( 1,1) ( , )( 1,1 ) 2 4 1 0OP AB PA PB                     uuur uuur uuuruuur 解得 : 2 21 12 2    ,因点 P是线段 AB上的一个动点 ,所以 0 1  ,即满足条件的实数 的取值范围是 21 12    ,故选择答 案 B. 案例2、 ( 2006年湖南卷）如图, OM ABP ,点 P在由射线OM、线 段OB及 AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB uuur uuur uuur ,则 x的取值范围是 2 AO M P B O B P 图 5-20 陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 ;当 12x   时, y的取值范围是 解：如图, ABOM // , 点 P 在由射线OM , 线段OB及 AB的延长线 围成的区域内 (不含边界)运动 , 且 OByOAxOP  ，由向量加法的平 行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB和 OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞，0)； 当 2 1x 时，要使 P点落在指定区域内，即 P点应落在 DE上，CD= 2 1 OB，CE= 2 3 OB，∴ y 的取值范围是( 2 1 ， 2 3 ). 练习：如图：点 P在 OMA 上或它的内部运动，且 OByOAxOP  ，当 y 取最大值时， x 的取值范 围是 ； 解析：由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OA和 OB的反向延长线为两邻边，则 y 取最大值 0，此时OP xOAuuur uuur，所以 x 的取 值范围是  0,1 。 （2）、 二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    无疑是中学数学和高考的亮点，它的定义 域，值域，开口，对称轴，单调性是那么熟悉，可是就是它们又是我们的同学感到陌生、可怕，如果我们 引入绝对值则有 2y ax b x c   ，这时的二次函数则等价转化为分段函数  22 ( 0) ( 0)ax bx c xax bx c xy      ，这个时候 的定义域，值域，开口，对称轴，单调性就不是二次函数那么简单了，把 , ,a b c具体化，如求 2 2y x x   它的最小值还较容易，若化为求 2 1 2y x x    最小值就不那么简单了，再引入参数 则有求 2 2y x x a    的最小值，则成了高考题。 （3）几乎每一个数学知识点都可以引发、转换为数学试题，如 logay x 在其定义域单调，引入绝对值后， 则有 logay x 就有了对称性，继续变换有 log 1ay x  ，则失去了偶函数的性质，对称轴变为 1x  ， 再引入参数 a,有 log 1ay ax  ，求这个函数的对称轴，则成为一道考查对数运算、对数函数性质的题目。 对数函数是单调的，一次函数也是单调的，每一个知识点都比较容易掌握，如果从简单的形式开始 复合会是什么样子呢？如  0,1x ，求  log 1ay ax  最大（小）值。这道题考查了对数的定义域 1 0ax   ，复合函数的单调规律，分类等。对数函数是“繁殖率”很强的“理想源”，它与二次函数、一 元有理分函数、形如 1y x x  都可以复合得到很好的考查数学知识的能力的试题。 三、“类比”是最好的试题“源” 从最早的上海试题“在等差数列 na 中，若 a10=0 , 则有 1 2 3 n 1 2 3 19-na + a + a + +a = a + a + a + +a  (n<19,n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列 nb 中，若 b9=1,则有等式-----------成立。”开始，高考数 学试题多了一道新的风景线——类比。 3 (1,2) (1,1) O X Y B P A 陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 案例 1、设函数 1( ) 2 2xf x   ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 ( 4) (0) (5) (6)f f f f      的值为 ------------------ . 分析 此题利用类比课本中推导等差数列前 n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计 算 ( ) (1 )f x f x  ： 1( ) 2 2xf x  Q ， x x x x xxf 22 22 1 222 2 22 1)1( 1     ， 2 2 22 22 11 )1()(    x x xfxf ， 发现 ( ) (1 )f x f x  正好是一个定值， 22 122S   ， 3 2S  . 案例 2、在平面几何中，有勾股定理：“设 ABC的两边AB、AC互相垂直，则 . 222 BCACAB  ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正 确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 --------------------------- ” 分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … … 由此，可类比猜测本题的答案：  2 ABCS 2ACDS 2ADBS 2BCDS （证明略） 案例 3、（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆 C上关于原点对称的两个点， 点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为 PMk 、 PNk 时，那么 PMk 与 PNk 之积是与点 P的位置无关的定值.试对双曲线 2 2 2 2 1x ya b  写出具有类似特性的性质，并加以证明. 分析 类似的性质为：若M、N是双曲线 2 2 2 2 1x ya b  上关于原点对称的两个点，点 P是双曲线上任意一点 当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为 PMk 、 PNk 时，那么 PMk 与 PNk 之积是与点 P的位置无关的定值. 证明：设点M、P的坐标为（ ,m n）、（ ,x y），则N（ ,m n  ）. 因为点M（ ,m n）在已知双曲线上，所以 2 2 2 2 2 bn m ba  ，同理 2 2 2 2 2 by x ba  . 4 陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2PM PN y n y n y n b x m bk k x m x m x m a x m a              （定值）. （本文已于 2007年 9月发表在《考试周刊》07年第 39期） 2007-09-15 修正于礼泉一中 5