用探索性方法解决初一数学问题的尝试
初中探索性问题是考查数学能力的重要题型，它涉及到初中数学的
各个方面。从命题的结构看，具有新颖性、开放性和实验性等特点，因而
知识覆盖面较强，要求学生有扎实的基础知识，展开丰富的联想，积极
思维，积极探索，通过严密的推理论证或计算，解决这类问题。下面从几
个方面来探讨初中探索性问题的解题：
1、 联想类比探求
利用数学结构的和谐统一和互相渗透的辨证关系，在观察、分析、联想、
类比过程中，求出结果。
[例 1] 计算：51+52+53+…+100
分析：联想梯形面积公式，类比把所求的和摞成一个梯形，用梯形面积
公式来求和。
解：原式=（51+100）×50÷2=3775
2、 直接探求
把问题当作求解题来解，把满足条件的数学对象直接求出。
[例 2] 将 1、2、3、…、100这 100个自然数，任意分成 50组，每组两个数，
现将每组中任一数值记作 a，另一个记作 b，代人代数式 0.5（|a-b|+a+b）
中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得 50个值，求这 50个值
的和的最大值。
解：不妨设 a＞b，原式=a，由此知每组数的两个数代人代数式运算后的
结果为两个数中较大的一个，从整体上看，只要将 51、52、53、…、100这
50个数依次代人，便可求出 50个值的和的最大值：51+52+…+100=3775
3、 观察猜测探求
通过观察、分析、猜想出一般结论，再论证猜想的正确性。
[例 3] 给出下列代数式：
32-12=8=8×1
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52-32=16=8×2
72-52=24=8×3
92-72=32=8×4
…… …
观察上面一列数式，你能发现什么规律，用代数式来表示这个规律。并证
明之。
解：由题意，不难用归纳法探求其结果为：
（2n+1）2 -（2n-1）2 =8n
证明：（2n+1）2 -（2n-1）2 =（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
说明：从特例分析找出规律，再给出证明，是解决探索性问题的常用思
维模式。
4、 数形结合探求
有些问题用代数方法解很复杂，但用数形结合的方法却很容易。
[例 4] 试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2001|的最小值。
解：从数轴上看，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2001|的最小值，即在数轴上找
出表示 x的点，使它到表示数 1、2、3、…、2001的距离最小。如图所示：
当 x=1001时，原式的值最小，从数轴上看这个最小值为：
（2001-1）+（2000-2）+…+（1002-1000）+（1001-1001）
=2000+1998+…+2+0=1001000
5、 列表探求
有些问题往往考虑不周或难以理解，但通过列表很容易找到全面的答
案或容易理解。
[例 5] 设 a、b代表不同的自然数， a、b满足算式 1/a-1/b=1/42，
求 a与 b的和。
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1001 10021 2 3 1999 2000 20011000
解：列表
因数 1 2 3 6 7 14 21 42
倒数 1/1 1/2 1/3 1/6 1/7 1/14 1/21 1/42
通分 42/42 21/42 14/42 7/42 6/42 3/42 2/42 1/42
容易找出全部 a、b可能的值，从而求出 a+b：
（1） a=6、b=7，a+b=13
（2） a=14、b=21，a+b=35
（3） a=21、b=42，a+b=63
[例 6] 已知一只小狗走 3步与一只小猫走 4步的距离相等，狗走的一步相
当于 1尺，猫走 12步是多少尺？
解：列表
动物 狗 猫
步 3 4
步 9 12
尺 9 9
从表中看到猫走 12步相当于狗走 9步，狗 9步走了 9尺，从而求出猫 12
步走了 9尺。
6、 分类探求
对直接难解决的问题，有时用分类讨论的方法却可以解决。
[例 7] 试证：每个大于 6的自然数 n都可表示为两个大于 1且互质的自然
数之和。
思路：分类证明，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互
质。
证明：（1）若 n为奇数，设 n=2k+1，k为大于 2的整数，则写
n=k+（k+1），由于显然（k，k+1）=1，故此表示合乎要求。
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（2）若 n为偶数，则可设 n=4k或 4k+2，k为大于 1的自然数。
当 n=4k时，可写 n=（2k-1）+（2k+1），并且易知 2k-1与 2k+1互质，
因为，若它们有公因子 d≥2，则 d|2，但 2k-1与 2k+1均为奇数，此不可
能。
当 n=4k+2时，可写 n=（2k-1）+（2k+3），并且易知 2k-1与 2k+3互质，
因为，若它们有公因子 d≥2，设 2k-1=pd，2k+3=qd，p、q均为自然数，
则得（q-p）d=4，可见 d|4，矛盾。
7、 赋值探求
对含有参数的探索性问题，可以赋特殊值用待定系数法确定参数的值。
[例 8] 关于 x的方程 4kx+2a=12+x-bk中，a、b为定值，无论 k为任何值，
方程的根总是 1，求 a、b的值。
解 ：当 k=0时，x=1仍是方程的根；
将 k=0，x=1代人原方程中，得 0+2a=12+1-0，解得 a=6.5
当 k=1时，x=1仍是方程的解；
将 k=1，x=1，a=6.5代人原方程，得 4+13=12+1-b，解得 b=-4
故 a=6.5，b=-4。
通过不断的用探索性方法解题，不仅培养了学生大胆分析、思考问
题的意识，而且掌握了探索解决问题的方法和途径。从而培养了学生拓展
性学力和创造性学力。
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