双曲线方程与性质教案 1
教学目的
(1)使学生掌握双曲线的定义、方程和性质；
(2)在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、
推理等能力．
教学过程
一、复习
(1)椭圆定义是什么？
(2)椭圆的标准方程是什么？
(学生口述，教师板书．)
二、新课
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会
怎样？它的方程是怎样的呢？
[激发学生求知欲望．]
我们来看一下简单的实验：
(边画、边操作、边说明．)
如图1，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条线分别拴
在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|－|MF2|是常数，这样就画出
曲线的一个分支，由|MF2|－|MF1|是同一常数，可以画出另一个分支．
注意：|MF1|－|MF2|的绝对值要小于|F1F2|，否则作不出图形．
这个曲线就叫做双曲线．我们能否说出双曲线定义？这里有几个问
题先考虑一下：
(1)定点F1、F2与动点M不在一个平面上，能不能得出双曲线？
(回答是否定的．)
(2)观察图形，|MF1|、|MF2|哪个大？
(回答是不定，当点M在双曲线右支时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双
曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．)
(3)点 M与点F1、F2距离差是否就是|MF1|－|MF2|？
(回答是未必，也可以是|MF2|－|MF1|．正确表示是||MF1|－|
MF2||．)
(4)点 M与点F1、F2的距离之差是否会大于|F1F2|？
(回答是应小于|F1F2|．)
在上述基础上，引导学生概括出双曲线定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的
点的轨迹叫做双曲线．
随即指出：这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的
距离叫做焦距；双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
现在来研究双曲线的方程．我们可以参照求椭圆的方程的方法来求
双曲线的方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点
的垂直平分线为y轴．然后，观察双曲线(图2)的特征，猜测双曲线方
程的结构与椭圆方程的结构是否有类似处？
引出量2a、2c，|F1F2|＝＝2c．把点M移动到x上的点A1、A2处，可
以看出
|A1A2|＝|F1F2|－|F1A1|－|F2A2|＝|F1F2|－2|F2A2|
＝|F1A2|－|F2A2|＝2a，
所以 A1、A2的坐标是(－a，0)和(a，0)．
把同学们观察的结果归纳成：
(1)双曲线与x轴相交于两点A1(－a，0)、A2(a，0)，与y轴不相交；
(2)曲线关于x、y轴都对称；
(3)随点M移动，点M的坐标(x，y)的绝对值同时增加(或减少)．
根据上面的性质，对照椭圆定义及其方程，设想出双曲线方程的形
式．由(2)可
这个方程的结构虽然可以反映出上述三个归纳出来的特征，但设想
出来的结论是否可靠，需要在理论上加以证明．下面进行推导，以证明
设想的正确性．
由定义可知，双曲线就是集合
P＝｛M| |MF1|－|MF2|＝±2a｝．
将这个方程移项，两边平方，得
化简得
两边再平方，整理得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0．
设 c2－a2＝b2(b＞0)，代入上式，得
b2x2－a2y2＝a2b2，
也就是
这证明我们的设想是对的．以上推导是可逆的，由曲线与方程关系
来衡量，可以确信这就是双曲线的方程．我们把它叫做双曲线的标准方
程．
求得双曲线的方程后，可结合图形再一次理解 a、c的几何意 义，
特别注意c2＝a2＋b2与椭圆中a2＝b2＋c2的不同处，并指出：与椭圆方
程一样，如果双曲线的焦点在y轴上(图3)，焦点是F1(0，－
c)、F2(0，c)，只要将方程①的x、y互换就可以得到它的方程
这个方程也是双曲线的标准方程．我们一起把学过的椭圆与双曲线
作一比较便于更好记住它们的方程与性质．
(让学生回答，教师引导、启发与订正并板书．)
三、练习
(口答．)
2．已知两点F1(－5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值
是 6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会
出现什么情况？
3．求已知焦点F1(0，3)、F2(0，－3)，且2a＝4的双曲线的标准方
程．
四、布置作业
课本习题：略．
预习：
1．阅读教材中双曲线的几何性质4(渐近线)与性质 5(离心率)．
2．推出|MQ|(此为双曲线上任一点到渐近线的距离，见教材)的表
达式，以此再重新研究双曲线与渐近线的关系．
(从以上两题可以明确量 b的几何意义，由此对方程的理解可以深
入一步．)
教案说明
(1)双曲线的定义、方程与性质的教学通常是分开讲解的，本节(包
括课内外)是集中处理的．我的想法是它们构成一个比较完整的知识系
统，集中研究能使学生在一开始就能看到系统知识的全貌，理解各个知
识在系统中的地位和互相关系，这样理解就更深刻些、全面些，尤其 a
和 b对双曲线形状的决定作用，这些都是全面理解方程所不可缺少的．
(2)集中处理系统的基本知识也是双基训练的一种形式，是巩固基
本知识较好的方法．从记忆方面来讲，集中系统的记忆知识，比孤立各
个记忆知识要好．因为从一个知识容易联想另一个有关知识，互相补充
和完善．
(3)本节对定义和方程的分解合成方法，是把一个知识分解成更小
的知识，弄清它们的含义和互相关系，再组成一个完整概念，这是掌握
知识系统的一种方法．这不仅能够掌握知识本身，而且能培养学生灵活
运用知识和创新的能力．学生进入新的知识领域时就可以用分解和组合
的方法去定义新的概念，或者灵活地解决本知识系统中更难的问题．如
以后遇到“当α从0°到180°变化时，曲线x2＋y2cosα＝1怎样变
化”这类问题，就能够把α的值进行分类，再组成各种曲线．
(4)本教案注意发挥类比和设想的作用．学生在思考中有自己的特
点，只要思考得合理，这不仅是允许的，而且应当鼓励．因为一些异常
的思路可能是将来发明创造的预兆．因此，不能把学生的思考都纳入教
师预先设计的轨道．不然，长此下去有使学生的思维僵化的危险．在研
究双曲线性质方面，学生的研究方法和内容都不尽一致，我们只归纳一
些共同点，而保留不同点．在作业中，列表对比双曲线与椭圆，也不规
定统一内容，由学生自己决定(当然下节课要做讲评)．由于学生受知识、
能力、经验等限制，也常出现幼稚的想法，教师决不要断然否定，伤害
学生的感情．最好是引导学生自己从困境中解脱出来，增强学习的信心．
如有的学生认为双曲线方程是二次函数关系，教师可以从引导学生回忆
函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附
加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．学生在自行解决后，相信自
己的能力，心理上感到很大的满足．
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