曲线的交点教案 1
教学目标
1．领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法；
2．初步学会解析法，培养学生一般解题能力，渗透分类讨论的思
想；
3．培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神．
教学重点与难点
研究曲线与直线位置关系的解析方法为教学重点；
弦长公式的推导为教学难点．
教学过程
一、复习并引入新课
师：设直线l1和l2的方程分别是：A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，怎
样通过方程来研究l1与l2的位置关系呢？
生：从直线方程求出斜率；若斜率相等，则无交点或重合；若斜率
不相等则有交点．
师：好！是一个好办法．但是，有局限性吗？
生：有．当直线斜率不存在时，此方法不能用．
师：可以改进吗？
生：可以．如一条斜率存在，一条不存在，则相交；如都不存在，
则平行或重合．
师：非常好．但似乎有两个小缺点，一是方法不统一；二是当判断
出直线有交点时，还要再去求交点．那交点又怎样求呢？
生：……(若学生答：“可解方程组”，则老师要顺水推舟，自然
引出对“充要性”的谈话．)
师：现在请大家考虑一下，直线上点的坐标与直线方程之间有怎样
的关系？
生：直线上点的坐标是方程的解；以方程的解为坐标的点在直线上．
师：那两条直线的交点与两条直线的方程之间有什么关系？
师：请大家更深一步地思考：方程组有唯一解是两直线有交点的什
么条件？请说明理由．
生：(略．)
二、新课
(一)直线与曲线的交点
师：求两直线交点的方法能否推广到两曲线呢？大家讨论讨论．
生：(回答略．主要从“曲线方程”的定义入手．)
师：非常好，大家讨论得很热烈．根据大家的讨论，我想可以把大
家的想法归结为3条．
1．由曲线方程定义出发解释：两曲线有交点的充要条件是它们的
方程所组成的方程组有实数解；
2．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实
数解，两条曲线就没有交点；
3．求曲线交点的代数法(或解析法)就是求它们的方程组成的方程
组的实数解．
下面看看具体问题：
解 (略．)
(此例学生做．教师巡视，发现问题及时解决．)
师：此题是求直线与抛物线的交点．其中直线y=3x－2是以“斜截
式”表示的．请问直线经过哪个特殊点？
生：经过点(0，－2)．
师：好！大家对直线方程的掌握还不错，现在我把问题引申出来．
生：从刚才例1可知，直线斜率为3时有两个交点．
师：反应很快嘛！但是，我们是讨论所有经过(0，－2)点的直线．
生：那就把经过点(0，－2)的直线方程表示出来，联立方程组，讨
论方程组的实数解．
师：怎样表示过点(0，－2)的直线？
生：表示为“y=kx－2”，这是斜截式．
示电脑动画)
师：看过演示后，大家是否受到启发？说说自己的想法．
生 1：直线与抛物线的交点个数可以是一个、两个或没有(即 0个)．
生 2：图 2－13，2－15，2－17都有一个交点．但是总感觉图 2－15
与图 2－13，2－17还有些不一样．
师：怎么不一样？我们再看看在这个运动过程中，点的运动特点．
(再演示一遍)
师：图 2－15的一个交点与图 2－13，2－17究竟有什么不一样呢？
生：图 2－13，2－17是两个交点重合为一个，图 2－15是因为直
线与抛物线的对称轴重合．
师：好！交点个数的问题从图上是看出来了．那刚才大家指出的方
法该如何修正呢？
生：把过(0，－2)的直线表示为“y=kx－2”忽略了斜率不存在的
情况．应分类讨论：1°当斜率存在时，设直线为y=kx－2，联立方程组，
解之．2°当斜率不存在时，直线与x轴垂直，记为x=0．
有两个交点，1个交点，没有交点？
(0，0)．即此时只有一个交点．
之得：k＞2或 k＜－2时，有两个交点；k=±2时，有1个交点；－
2＜k＜2时，无交点．
例 2 已知某圆的方程是x2+y2=2，当 b为何值时，直线y=x+b与圆
相切，相交，相离？
启发提问：
师：用解析法解这题应解决什么问题？
生：判定由两个方程构成的方程组解的个数．
师：直线与曲线相交，相切，相离用代数语言怎样说？
生：方程组有两个不同解，有两个相同解，没有解．
师：那么你打算怎样做？
生：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元
二次方程，想用判别式！
师：设想很好．但到底行不行，请动手．
(解略．学生在解题过程中教师巡视，并及时纠正错误．)
解的个数及直线与圆的位置关系三者间建立了怎样的关系？
生：(答略)
(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)
师：现在请大家把例1，例2在解法上的相同之处总结一下．
生：例1，例2都是把直线方程与曲线方程联立成方程组，通过消
元变成一元二次方程，再通过解方程或根的判别式来解决问题．
师：这两题在结果上有什么相同与不同吗？
生：相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都是两个，一个，
0个；
不同之处：直线与抛物线交点为1个时，有可能是切点，即两个重
合为一个；也有可能就只有一个交点(当直线与对称轴平行时)．
(二)弦长公式的推导
师：通过刚才的两个例题，大家基本掌握了求交点及交点个数的方
法．现在我们来看看另一个与交点密切联系的问题——弦长问题．
(从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”)
师；请问，怎样求线段长？
师：不求出交点是否可以求出弦长？
(通过比较发现后一方法简捷，然后让大家动手做②③．)
在解②③时，会有以下式子出现：
②(y1－y2)2=(x1－x2)2×32；
③(y1－y2)2=(x1－x2)2×k2．
总结①②③，并引导学生得出结论：
师：若消元时消掉 x，得到的是关于 y的一元二次方程，求出的是
(y1－y2)2．那么弦长公式又会是什么样？
(证略．)
三、小结
通过本节课我们看到，求曲线交点的问题，交点个数(或两曲线的
位置关系)问题，以及求弦长的问题，都是通过研究方程组的解来解决
问题．这就是解析几何的基本指导思想．
四、布置作业：
2．求经过两条曲线x2+y2+3x－y=0和 3x2+3y2+2x+y=0交点的直线
的方程．
设计思想
在解析几何中，求“曲线交点”的问题，并非解析几何的重要问题．
但是，有很多问题要通过“求交点”才能解决；也就是说，“求交点”
是解决问题的一种工具．更重要地，“求交点”的问题中蕴含了解析几
何的基本思想——通过研究方程或方程组的解的问题来解决几何问题．
因此，本节课的“教学目标”和“教学重点”就定在了“研究曲线与直
线位置关系的解决方法”这一点上．并且在教学过程中突出了“直线
(曲线)方程——方程组——方程的解——曲线的交点”这样一个转化过
程来突出解析几何的基本思想．
在完成这一目标的过程中，注意了能力的培养．首先再说明的是，
由于还未系统学习“圆锥曲线”，因此，在设计例题和选择曲线的过程
中受到很多限制．但是，本节课的主要任务并不能因为曲线类型的限制
而受到制约，所以，我们选择了在学习二次函数时见过的抛物线
y=ax2+bx+c和同学们都非常熟悉的圆．例1设计为求交点的题目，没有
什么特别的地方，主要是让学生熟悉求交点的方法．但是在解题后把问
题引申为：“过定点的直线与抛物线的交点”问题，以及例2的“平行
直线系与圆的交点问题”就把“求交点”的问题放在了“运动变化”的
图形中．这样一来，就把“求交点”的问题提高了一个高度：一方面，
再一次强调了解析几何的基本思想；另一方面，通过直线的运动变化，
首先说明的是“直线与曲线位置关系”在变化，同时，“解的个数”也
在变化，从而体现了“数形之间”的联系，也就是数形结合思想的体现．
通过自制软件的演示增强了直观性；同时，通过演示“过定点的直线系
与抛物线的交点”，还让学生发现自己在处理这一问题时的漏洞，从而
需“分类讨论”．从而培养了学生的能力．
至于“求弦长的公式”则是“求交点”问题的应用，主要是说明
“求交点”是一
同时，“求交点”的问题作为一种工具，还反映出解析几何中的一
种技巧——设而不求，这在“弦长公式”中就是一种体现；而在以后解
决有关“曲线的弦的中点轨迹问题”时，就常设出交点而不求．
“曲线交点”这一课，重要在于它蕴含着解析几何的基本思想．本
教案的设计力图体现这一思想，并通过学生的主动参与来体现教学过程
中学生的主体作用，培养学生的能力．
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