0 0 类别 : 教案

复数的三角形式的运算教案 教学目标 1．进一步理解复数的三种表示形式的特点及其相互联系． 2．加深对方程的思想、等价变换的思想、数形结合的思想等数学思想方法的 认识，并熟悉它们的运用． 3．进一步培养学生的观察能力、分析能力和变换能力，帮助学生逐步形成 科学的思维习惯和方法． 教学重点与难点 重点：理解复数的各种表示形式及其联系，并能在确定复数时，依据不同 条件，作出适当选择． 难点：认识有关的数学思想以及它们在应用中的要求． 教学过程设计 （一）引入 师：上一节课，我们学习了复数的三角形式，这就使复数有了三种表示形 式，即代数形式，三角形式和几何形式，也使求一个复数有了多种出发点．这 一节课，我们将以此为据来研究在一定条件下，怎么确定一个复数的问题． （板书课题：复数的确定） （二）复习 师：首先，请大家思考：确定一个复数，需要几个独立条件呢？ 生：需要两个独立条件． 师：对．为什么呢？ 生：因为采用复数的代数形式，则需要确定它的实部和虚部；若采用复数 的三角形式，则需要确定它的模和辐角；若采用几何形式，也需要两个条件． 师：完全正确．确定一个复数的问题，实际上是确定两个实数的问题．当 然需要两个独立条件． （没有从复述学过内容的角度，而是从应用的角度组织复习，不仅可以引 导学生学习的深度，还为本节课题解决作好准备） （三）新课 师：下面请看问题： （板书） 师：读完本题后，解决本题你采取的第一个步骤是什么呢？ （没有找一个学生一解到底，而只要求说出第一步应干什么，是为了使更 多学生有序参与） 生：设z=x+yi． 生：还应该注明x，y∈R． 师：他准备采取代数形式来确定复数z了．下一步呢？ 生：根据条件列出x，y的方程来． 师：请具体列出来． （学生口述，教师摘要板书） 生：由|z-1|=2，z-1=（x-1）+yi，得|（x-1）+yi|=2．于是有（x- 1）2+y2=4． ① （尽管此处有误，为避免冲淡对解题思路主线的认识，可暂不追究） 师：第三步就应该解①，②所构成的方程组了．请大家注意对合理、简捷解 法的选择． （稍作停顿，留出思考时间．但不要放手由学生分头去做） 生：由②得y=x-1．代入①得（x-1）2+（x-1）2=4．则（x-1） 师：很好！这里采用的消 y的消元法求解．解方程（x-1）2=2时，没有把 左式展开，而采用了开平方法，方法合理简捷．这种仔细观察方程结构，自觉 运用换元思想的解法，值得表扬． 师：这里如果采取消 x的思路，怎么解才比较合理呢？ 师：好极了！上述解法除选用什么方法解方程值得讨论外，解决问题的整 体思路也值得反思．上述解法中体现的是什么数学思想呢？ 生：方程的思想． 师：运用方程的思想解决上述问题，归纳起来其基本步骤是什么呢？ （学生思考、回答，教师帮助提炼、概括） 生：共三步（1）设元；（2）列式；（3）求解． 师：本题还有其他解法吗？ 生：设z=r（cosθ+isinθ）． 师：这是依据复数的三角形式来设元，其中 r，θ在这里的取值范围是什么？ 生：r≥0，θ∈R． 生：这里r=0不可能！ 生：因为若 r=0，则 z=0，条件 |z-1|=2就不成立了． 师：好！下面来列式． 生：由所设z-1=rcos θ-1+risinθ． 依已知条件就可得到 师：从形式上看，这里得到的方程好像与前一种解法中得到的方程完全不 同！但从换元的观点看，若把rcosθ看作 x，rsin θ看作y，这两个方程与前 一种解法中的两个方程是完全相同的．不必再去解了． 师：本题还有没有其他解法？ 生：（沉默不语） 师：（教师适当予以启发）请认真研究本题已知条件的特点，思考新的解 法． 师：很好！ 仔细研究本题已知条件可看到，复数z-1是一个确定的复数，而由z-1求 z 又十分容易． 尽管不是每道题都有如此简捷的解法，但是仔细观察问题中条件的特点， 认真分析已知和所求之间的联系，是一种良好的思维习惯，值得提倡． 师：本题进行到这儿，又出现了一个新问题，大家发现了吗？ （善于比较，反思，是一种学习能力） 生：前二种解法与第三种解法的结果不相同！ 师：二种结果都正确是不可能的．问题出在哪里呢？原因是什么呢？ （发现问题，找到问题在哪里，原因是什么是有一个过程的．教学中要展 示这种过程．要对第一种解法中各步一步一步去查） （z-1）的正切值为1，而且指明了复数z-1在复平面上对应的点必在第一 象限． 师：上述第二种解法中，相应的方程应怎么改动呢？ 师：下面我们一起小结一下，运用方程的思想确定复数有什么特点． （师生共同小结，互相补充，逐渐达到共识） （1）运用方程思想要抓好三个环节，即设元、列式、求解； （2）确定复数时的设元，既要注意对复数不同表示形式的选择，又要注意 对已知条件特点以及它与所求复数之间联系的认识； （3）列式是运用方程思想处理问题的中心环节；这里要注意它与已知条件 的等价性； （4）求解过程也有等价性要求，对求解过程要注意合理性设计，注意换元 思想的恰当运用． 师：归纳起来就是以下三点． （板书下列内容） 小结：设元注意选择性；列式注意等价性；求解注意合理性． 师：再看一个问题． 问题2：已知|z+i|+|z-i|=2，则|z+1+i|取最小值时的复数z=____．（板 书．给出适当的学生思考的时间） 师：你们的沉默是不是这样的原因？想说z=x+yi，但由条件|z+i|+|z-i| =2求出x，y的关系来比较繁，作为填空题用这种思路不满意，正在想别的办法． 这别的办法还未得到结果不要紧，先说说用的是什么办法，好吗？ 生：从几何角度考虑，适用数形结合的方法． 师：用这种方法你怎么入手的呢？ 生：必须对条件和所求都作出几何解释． 师：好，先对条件作几何解释． 生：满足条件的复数z在复平面上对应的点 P，到复数-i，i分别对应的点 A，B的距离的和为2，所以 P点在以 A，B为两焦点的椭圆上． 生：不对！因为这里|AB|=1，点 P只能在线段AB上． 师：这里对条件作几何解释，不仅要正确理解复数模的几何意义，还要准 确理解椭圆的定义．画出有关图形，如图． 再指出|z+1+i|的几何意义． 生：线段AB上的点到复数-1-i对应的点 C之间的距离． 师：因此本题即求当 P，C之间距离最小时，P点对应的复数依据图形看出 来了吗？ 生：这时的 P点即为 A点．因此所求的复数z=-i． 师：由问题2可看到，从几何角度思考问题，数形结合也是确定复数的一 种方法．但必须是条件中给出的复数表示的关系其几何意义比较明显时才行． 对于问题1，数形结合法也是可以的、大家不妨一试． （看时间而定，有时间则可展开，无时间则提出课题，请同学们课后思考、 完成） （四）小结 师：把本节课的内容归纳一下： （1）本节的课题是怎么确定复数，依据的基础知识是复数的三种表示形式． 多种解法也来源于对不同形式的选择． （2）若选择的是复数的代数形式或三角形式，运用的实际上是待定系数法， 体现了方程的思想，并且在设元、列式、求解上又各具特点． （3）若选择的是复数的几何形式，则运用数形结合法．它要求我们熟悉复 数及其运算的几何意义． （4）既然确定复数存在多种思路和解法，运用时要注意选择，选择的目的 是使解法更加合理，过程更加简捷．多种方法达到灵活运用是要在运用中多思 考，不断积累经验才行的． （五）课外作业 （1）整理本节课的笔记，并标出自己的所得和教训之处． （2）书面作业，补充题： 课堂教学设计说明 1．在学习了复数的三角形式后，从总体上认识复数的三种表示形式及其互 相联系是一个重要的课题．本节课想从应用的角度对此课题作些探索．既然是 应用，必然涉及到指导思想的确立和方法的选择，因而设想以数学思想方法为 主线而展开．重点放在从不同角度思考问题时，不同的方法被选用的过程的分 析上．这里我们注意了例题难度不宜过大，以免影响主题，也注意了不要片面 追求多解，力争把知识形式的多样性，思考方式的多样性与多种解法产生的自 然结合． 2．既然是应用课，充分发挥学生主动性、创造性的教学方法应该更放手一 些，把两个题目全部交给学生，提出要求，由他们去思考、探索、解决．然后再 通过交流，讨论、评价，予以归纳、提高．但是考虑到一个班的学生知识基础和 能力水平之间的差异，我们采取了半放手的教学设计，为的是使不同层次的学 生都可有适合自己程度的参与，使程度较好的学生能起到带动作用，使程度较 差的学生不至于因为问题大而无从下手，并能获得向别人学习、自己思考相结合 的机会，逐步得到提高、在教学过程中，突出学生主体参与地位是应坚定不移的 而针对不同情况，掌握参与程度的问题是一个更值得研究的问题． 主体参与中还有一个参与面的问题．提出的问题由一个基础好的学生一说 到底，尽管他说得很漂亮，但很可能造成基础差的跟不上，大多数学生参与不 够的问题，如果请一位基础差的学生谈想法，又可能思维受阻或者尽管说不出 主导思想来．寻找适当层次的学生，回答适当层次的问题也是一个教学设计时 要考虑的问题． 3．问题2采用代数方法也是可行的，附于后供参考． 设z=x+yi（x．y∈R）．则由|z+i|+|z-i|=2，得|x+（y+1）i|+|x+（y- 1）i|=2． ① 两边平方，得 ② 再两边平方，得x2+（y-1）2=（1-y）2．于是得x2=0，即x=0． 可解得y≥-1． ③ 由②，得1-y≥0．即y≤1． ④ 由③，④，得-1≤y≤1． 所以已知条件即变为x=0（-1≤y≤1）． ≥1． 当且仅当y=-1时，上式中“≥”处等号成立．于是|z+1+i|取最小值 1时， x=0，y=-1．因此所求的复数z=-i． 显然此种解法比数形结合法繁琐多了．