椭圆及其标准方程知识讲解
1、由拉线画椭圆的实验，我们得到椭圆的定义．讲解时，必须强调 2a＞2c＞0的条件．
为此，我们在做拉线画椭圆的实验时，用同一根细绳（长度为 2a），不断改变 F1、F2的距
离（为 2c）重复画椭圆（即 2a不变，2c变化），带领学生总结如下规律：F1和 F2的距离
越大，画出的椭圆越扁平，F1和 F2的距离越小，画出的椭圆越接近圆，当 F1和 F2重合时，
椭圆变成了圆，当 F1和 F2的距离等于绳长时，椭圆就“退化”为一条线段．这样，不但突
出了椭圆定义中 2a＞2c＞0的条件，还为讲解椭圆的离心率对其扁圆程度的影响打下伏笔．
（说明：也可以固定 F1、F2，改变绳长画椭圆）
2、推导椭圆的标准方程，可按照求曲线方程的步骤进行：（1）设点（先建立坐标系），
（2）列式（3）代换（4）化简（5）证明（可省略）．
要注意以下几点：
（1）为使所得方程简单易记，启发学生思考：怎样利用椭圆是对称图形的特点来选取
坐标系？
（2）对方程 aycxycx 2)()( 2222 ①化简有一定难度，教学中只要抓住
“怎样消去方程中的根号”这一关键问题，步骤写详细一些，学生可以接受．
（3）方程①两次平方，得到方程（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)②后，指出：为了使方程简
单易记，且具有对称美，可设 b2=a2-c2，从而得到标准方程， 12
2
2
2
b
y
a
x （a＞b＞0）．
接着提问：a、b、c中，c表示半焦距，a、b表示什么呢？教师可再回顾拉绳画椭圆的实
验．
如图 2-2当动点 M到达 A点时， aFAAFAFAFMFMF 21112121
可见 2a是椭圆的长轴．
如图 2-3，当动点M到达 B点时， aMFMFBFBFBF 21212 2
1
2
1 ．
在 Rt△OBF2中，|OF2|＝c，所以|OB|2＝a2－c2．由此可见，b表示椭圆的短半轴．
（4）由方程 aycxycx 2)()( 2222 ① 经两次平方并化简得到方程
)()( 22222222 caayaxca ② 可能不是同解变形，必须证明“以方程②的解为坐
标的点必在椭圆上”．由于证明过程学生接受起来比较困难，所以教材中省略了．如有学
生问起可以加以说明．（此证明在“引伸与提高”中给出）．
（5）当椭圆方程化为标准形式后，x2与 y2项的哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上．
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