不等式的应用(1)——方程根的讨论教案
教学目标
1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨
论．
2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合
的思想．
3．能将实根分布等价转化为不等式(组)的求解问题，体现等价转化
的数学思想．
教学重点与难点
重点：借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转
化为由方程或不等式组成的条件组．
难点：寻求实根分布条件的等价转化．
教学过程设计
(一)引入新课
师：前阶段我们研究了不等式的性质，不等式的解法以及不等式的
证明．现在我们一起研究不等式在方程根的讨论问题上的应用．
(板书：不等式的应用——方程根的讨论)
师：请同学们思考此题的解法．
(出示小黑板或投影幻灯片)
练习：实数m取何值时，方程
x2＋2mx＋2m2－3＝0 ①
有：(1)两个正根？ (2)一个正根，一个负根？
(教师巡视后，发现学生中的不同解法，肯定正确方法，纠正偏差)
生乙：(1)由一元二次方程根与系数的关系可知：方程(1)有两个正
根的充要条件是：
师：本题有多种不同的解法：生甲应用求根公式；生乙应用根与系
数的关系(韦达定理)．不难看出，方程的实根分布问题的讨论可以等价
转化为解不等式(组)，但是不等式(组)是否与原命题等价是解题正确与
否的关键．
师：由于一元二次方程，一元二次不等式与二次函数三者有着密切
的联系，是否可以考虑应用二次函数的图象与性质？
(二)讨论
生：一元二次方程的实根是相应的二次函数的图象与 x轴的交点的
横坐标，讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图
象与 x轴的交点的位置问题．
师：不妨设 y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3，这是二次函数，其图象是开
口向上的抛物线(如图 5－6)，若方程①有两个正根，即抛物线 y=f(x)与
x轴正半轴有两个交点，或与 x轴正半轴相切，其充要条件是什么？
生：首先判别式Δ≥0，这样可以保证抛物线与 x轴有两个交点，
或与 x轴相切．
师：满足Δ≥0的条件，如图 5－7抛物线与 x轴的两个交点，一个
在 x轴正半轴上，而另一个在 x轴负轴上．可这两个交点应都在 x轴正
半轴上．
生：图 5－6与图 5－7比较发现，抛物线与 y轴的交点应在正半轴
上，即在 y轴上的截距大于 0．
师：如何计算抛物线在 y轴上的截距？
生：抛物线在 y轴上的截距为 f(0)，因此 f(0)＞0．
师：比较图 5－6与图 5－8，寻找其差别之处，还应添加什么条件？
生：两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图 5－6所示
抛物线的对称轴在 y轴右侧，而图 5－8所示抛物线的对称轴在 y轴左侧，
因此在条件中应添加对称轴 x=－m＞0的条件．
师：这样我们就得到了抛物线
y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3
与 x轴正半轴有两个交点，或与 x轴正半轴相切，即方程 x2＋2mx
＋2m2－3－0，有两个正根的充要条件是：
师：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线与 x轴的交点位置又
如何？其所对等价条件应考虑几方面？
生：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线 y=f(x)与 x轴有两个
交点，分别位于原点的两侧．如图 5－9首先应考虑判别式Δ＞0，还需
考虑抛物线在 y轴上的截距小于 0，即 f(0)＜0．
师：当 f(0)＜0时，请同学们试一试抛物线 y=f(x)与 x轴是否一定有
两个交点？并且这两个交点是否一定位于原点的两侧？
(要教给学生思考问题的方法，即原命题与其逆否命题是等价命题．
因此，只须考虑抛物线 y=f(x)与 x轴没有两个交点(包括无交点和一个交
点的两种情况)时，f(0)≥0是否成立；这两个交点位于原点的同侧或有
一点在原点上，f(0)≥0是否成立．这样，学生就可以通过作图，直观得
出结论，既省去了繁琐的证明过程，又培养了数形结合的思想，可谓一
举两得．学生不难得出以下 5种图形，(如图 5－10～5－14)，从而得出
肯定的结论)
(板书)师：因此，抛物线 y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3．与 x轴有两个
交点，且分别位于原点两侧，即方程 x2＋2mx＋2m2－3=0，有一个正根，
一个负根的充要条件
师(小结)：关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处
理方法：(1)应用求根公式法；(2)应用根与系数的关系(韦达定理)；(3)应
用二次函数的图象与性质．
(三)巩固
(板书)例 1 m取何实数值时，关于 x的方程
x2＋(m－2)x＋5－m=0
的两个实根都大于 2？
(在学生充分思考的前提下，发现错误，在及时分析、纠正错误的同
时，使学生分析解决问题的能力得以提高)
师：同学中有这样一种作法：
解：设方程的两根为 x1，x2．
比较此答案与应用二次函数图象所得答案－5＜m≤－4不符，究竟
问题出在哪里？
(此时，利用此题训练学生举反例的能力，从而培养学生批判的思
维品质)
生：取m=－5＜－4，方程变为 x2－7x＋10=0，这时有一根为 2，
不符合题意，因此解法错误．
(板书)正确解法 1：(应用韦达定理)
所以原方程两个实根都大于 2的充要条件是
所以当－5＜m≤－4时，方程的两个实根都大于 2．
正确解法 2：(应用二次函数)
设 f(x)=x2＋(m－2)x＋5－m，如图 5－15原方程两个实根都大于 2
的充要条
师：若m为何实数时，方程的一个实根大于 2，另一个实根小于
2，又将如何解决呢？
(由学生自己解决，教师点评解法)
解法 1：(利用韦达定理)
所以原方程的两个根一个大于 2，另一个小于 2的充要条件是：(x1
－2)(x2－2)＜0．解得：m＜－5．所以当m＜－5时，方程的一个实很
大于 2，另一个实根小于 2．
解法 2：(应用二次函数)
设 f(x)=x2＋(m－2)x＋5－m，如图 5－16，原方程一个实根大于 2，
另一个实根小于 2的充要条件是 f(2)＜0，即 4＋2(m－2)＋5－m＜0．解
得 m＜－5．所以当m＜－5时，方程的一个实根大于 2，另一个实根小
于 2．
(板书)例 2 已知关于 x方程：
x2－2ax＋a=0
有两个实根α，β，且满足 0＜α＜1，β＞2，求实数 a的取值范
围．
师：利用求根公式，将 0＜α＜1，β＞2转化为关于 a的不等式组，
求 a的取值范围，计算将会很繁琐．而利用根与系数关系进行转化时，
很难得到充要条件．因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找问题
解决的充要条件．
设 y=f(x)=x2－2ax＋a,如图 5－17,若方程 f(x)=0的两根分别在区间
(0,1)和(2,＋∞)内，即抛物线 y=f(x)与 x轴的两个交点在分别位于原点与
点(1，0)之间和点(2，0)的右侧，由先前的经验可知，只需考虑
f(0)，f(1)，f(2)的符号，而无需考虑判别式以及对称的位置，因此得出
其充要条件为：
(板书)解：设 f(x)=x2－2ax＋a，则方程 f(x)=0的两个根α，β就是
抛物线 y=f(x)与 x轴的两个交点的横坐标，如图 5－17，0＜α＜1，β
＞2的充要条件是：
(四)小结
1．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式(组)的
求解问题，其方法有 3种：(1)应用求根公式；(2)应用根与系数关系；
(3)应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．
2．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的
一种方法．
设 f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c=0的两个根为
α，β(α≤β)，m，n为常数，且 n＜m，方程根的分布无外乎两种情
况：
3．在确定充要条件时，注意数形结合，往往收到事半功倍的效果．
(五)作业
1．已知关于 x的方程 3x2＋(m－5)x＋7=0的一个根大于 4，而另一
个根小于 4，求实数m的取值范围．
一根大于 4，另一根小于 4的充要条件是：f(4)＜0)
2．已知关于 x的方程 x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间
(0，2)内，求实数m的取值范围．
3．已知关于 x的方程 3x2－5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条
件α∈(－2，0)，β∈(1，3)，求实数 a的取值范围．
(－12＜a＜0．提示：令 f(x)=3x2－5x＋a，由图象特征可知方程
f(x)=0的两
* 4．已知关于 x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6=0有两个实根
α，β，且满足 0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．
则方程 f(x)=0的两个根α，β，就是抛物线 y=f(x)与 x轴的两个交
点的横坐标．
如图 5－18，0＜α＜1＜β的充要条件是
课堂教学设计说明
1．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，简单地说就
是“数”与“形”，“数与形”之间是有紧密联系的，是可以相互转化
的．数形结合的思想是中学数学中要求学生必须掌握的一种数学思想，
同时也是高考中的必考内容，可以说在高考中对数学能力的考查主要体
现在对数学思想方法的考查上，因此在日常教学中应注重对学生进行数
学思想的培养．
2．在应用数形结合思想解决与方程、不等式有关的问题时，应考虑
设辅助函数、利用函数图象来解决．应用数形结合，往往收到事半功倍
的效果，但在进行转化时要注意等价转化．
在教学过程中体现教师是主导，学生是主体．教师通过教材，选用
合适的教学方式和手段，把知识、技能传授给学生，发展学生的数学能
力，将人类总体的知识结构转化为学生的认识结构，并不断充实、完善．
同时学生也必须以其自身的活动为中介，积极参与教学活动，才能使教
师主导的外部作用切实传导给学生，才能通过反馈又反作用于教师，教
师通过反馈信息，随时调整教学过程，提高课堂教学的效率，保证教学
目标的实现．
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