§4.10.2 正切函数的图象和性质教案
●教学目标
(一)知识目标
正切函数的图象和性质
(二)能力目标
1.掌握正切函数的性质；
2.掌握性质的简单应用；
3.会解决一些实际问题.
(三)德育目标
1.渗透数形结合思想；
2.提高解题能力；
3.培养理论联系实际观点；
4.培养辩证观点.
●教学重点
正切函数的性质的应用
●教学难点
灵活应用正切函数的性质解决相关问题
●教学方法
强化训练题目，以达到熟练掌握正切函数的图象和性质.(讲练结合法)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：请同学们回顾一下正切函数的图象和性质.
生：(回答)(1)正切曲线是被无数条直线 x＝kπ＋ 2
(k∈Z)隔开的无数条曲线所组
成的.
(2)定义域为｛x｜x≠kπ＋ 2
，k∈Z｝
(3)值域为(－∞，＋∞)
(4)奇函数
(5)在每个区间(kπ－ 2
，kπ＋ 2
)k∈Z 上都是增函数
Ⅱ.讲授新课
师：下面我们来看如何应用它们解决一些相关问题.
［例1］求函数y＝tan(x＋ 3
)的定义域，并讨论它的单调性.
解：由x＋ 3
≠kπ＋ 2
，(k∈Z)
得 x≠kπ＋ 6
，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋ 3
)的定义域为
｛x｜x∈R 且x≠kπ＋ 6
，k∈Z｝
又由y＝tanx在每个区间(kπ－ 2
，kπ＋ 2
)k∈Z 上是增函数可知：
当kπ－ 2
＜x＋ 3
＜kπ＋ 2
即kπ－ 6
5 ＜x＜kπ＋ 6
(k∈Z)时，
y＝tan(x＋ 3
)是增函数
∴y＝tan(x＋ 3
)在每个区间(kπ－ 6
5 ，kπ＋ 6
)(k∈Z)上是增函数.
［例2］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么?
解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当 x至少增加到 x＋π时，
函数值才重复出现.
也就是说只有 2x至少增加到 2x＋π时，即x至少增加到 x＋ 2
时，函数值才重复出
现.
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 2
．
由正、余弦函数最小正周期T＝
2 得正切函数的最小正周期T＝
例如 y＝5tan 2
x ，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期 T=
2
1
2
=4π.y=tan3x,x≠ 3
k + 6
(k∈Z)的周期T＝ 3
2 .
Ⅲ.课堂练习
生：课本P71 4.(书面练习)
答：(1)T＝ 2
，(2)T＝2π
生：(口答)课本P71 5.
(1)不是，因为它在kπ＋ 2
(k∈Z)处无定义
(2)不会，因为它是周期函数，所以它在每个区间(kπ－ 2
，kπ＋ 2
)(k∈Z)上与
(－ 2
， 2
)上的单调性是相同的.
Ⅳ.课时小结
(1)讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性.
(2)形如y＝tan(ωx)，x≠
2
k (k∈Z)的周期T＝
．
(3)注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P72习题4.10 6.
(二)1.预习课本P73～P74
2.预习提纲
(1)如何根据角的三角函数值求角?
(2)怎样用计算器求角?
(3)已知三角函数值求角，应特别注意什么?
●板书设计
课题
课时小结 例1
例2
复习回顾
●备课资料
1.函数y＝ xtanlog
2
1 的定义域是( )
A.｛x｜0＜x≤ 4
）
B.｛x｜2kπ＜x≤2kπ＋ 4
，k∈Z
C.｛x｜kπ＜x≤kπ＋ 4
，k∈Z
D.｛x｜kπ－ 2
＜x≤kπ＋ 4
，k∈Z
解析：由 log
2
1 tanx≥0，得0＜tanx≤1
根据y＝tanx在 x∈(－ 2
， 2
)上的图象可知0＜x≤ 4
结合周期性，可知原函数的定义域为：
｛x｜kπ＜x≤kπ＋ 4
，k∈Z｝
答案：C
2.求函数y＝ xxsincot 的定义域.
解：∵cotxsinx＝ x
x
sin
cos ·sinx＝cosx
∴函数的定义域由
0sin
0cos
x
x
确定
解之得2kπ- 2
≤x≤2kπ＋ 2
，且x≠kπ，(k∈Z)
从而原函数的定义域为：
［2kπ－ 2
，2kπ ) ∪(2kπ，2kπ＋ 2
] (k∈Z)
3.如果α、β∈( 2
，π)且tanα＜cotβ，那么必有( )
A.α＜β B.β＜α
C.α＋β＜ 2
3 D.α＋β＞ 2
3
解：tanα＜cotβ tanα＜tan( 2
3 －β )
∵α、β∈( 2
，π)， 2
3 －β∈( 2
，π)
又∵y＝tanx在( 2
，π)上是增函数
∴α＜ 2
3 －β
即α＋β＜ 2
3
答案：C
4.函数y＝lg(tanx)的增函数区间是( )
A.(kπ－ 2
，kπ＋ 2
)(k∈Z)
B.(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)
C.(2kπ－ 2
，2kπ＋ 2
)(k∈Z)
D.(kπ，kπ＋π)(k∈Z)
解：函数y＝lg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足 tanx＞0，且 y＝tanx
是增函数的区间
解之得kπ＜x＜kπ＋ 2
(k∈Z)
∴原函数的增函数区间为：
(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)
答案：B
5.试讨论函数y＝logatanx的单调性.
解：y＝logatanx可视为y＝logau与 u＝tanx复合而成的，复合的条件为tanx＞0，
即x∈(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)
①当a＞1时，y＝logau在 u∈(0，＋∞)上单调递增；
当x∈(kπ，kπ＋ 2
)时，u＝tanx是单调递增的，
∴y＝logatanx在 x∈(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)上是单调增函数
②当0＜a＜1时，y＝logau在 u∈(0，＋∞)上单调递减；
当x∈(kπ，kπ＋ 2
)时，u＝tanx是单调递增的.
∴y＝logatanx在 x∈(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)上是单调减函数.
故当a＞1时，y＝logatanx在 x∈(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)上单调递增；
当0＜a＜1时，y＝logatanx在 x∈(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)上单调递减；
●教学后记
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