平面向量的坐标运算教案
●教学目标
(一)知识目标
1．平面向量的坐标表示；
2．平面向量的坐标运算.
(二)能力目标
1.理解平面向量的坐标概念；
2.掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.
●教学重点
平面向量的坐标运算.
●教学难点
理解向量坐标化的意义.
●教学方法
启发引导式
启发学生在学习平面向量坐标表示的推导过程中理解平面向量基本定理中基底的特殊
化.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面
向量的坐标表示.
我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x,y)来表示，本节我
们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x,y)来表示.
Ⅱ.讲授新课
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，ｉ、ｊ为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量
的基本定理可知：平面内任一向量ａ，有且只有一对实数x,y，使ａ＝ｘｉ＋ｙｊ成立.
2.平面向量的坐标运算
若ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），
则ａ＋ｂ＝（ｘ１＋x ２，ｙ１＋ｙ２），
ａ－ｂ＝（ｘ１－ｘ２，ｙ１－ｙ２）.
即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.
3.实数与向量积的坐标表示
若ａ＝（ｘ，ｙ），则λａ＝（λｘ，λｙ）
4.向量平行的坐标表示
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），其中ｂ≠0，由ａ∥ｂ 存在实数λ，
使ａ＝λｂ.
∴（ｘ１，ｙ１）＝λ（ｘ２，ｙ２）＝（λｘ２，λｙ２），
∴ｘ１＝λｘ２，ｙ１＝λｙ２.
消去λ得：ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０，
∴ａ∥ｂ ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０.（ｂ≠0）
师：下面我们通过例题分析来熟悉平面向量的坐标运算.
［例1］已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；
（2）若ｕ∥ｖ，求x.
解：∵ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），∴ｕ＝（１，１）＋２（ｘ，１）＝（１，
１）＋（２ｘ，２）＝（２ｘ＋１，３）
ｖ＝２（１，１）－（ｘ，１）＝（２－ｘ，１）
（1）ｕ＝３ｖ （２ｘ＋１，３）＝３（２－ｘ，１） （２ｘ＋１，３）＝
（６－３ｘ，３）
∴２ｘ＋１＝６－３ｘ，解得ｘ＝１
（2）ｕ∥ｖ （２ｘ＋１，３）＝λ（２－ｘ，１）
3
)2(12 xx
（2ｘ
＋１）－３（２－ｘ）＝０ ｘ＝１
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应
要求学生引起重视.
［例 2］平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且知 AD＝
（３，７）， AB＝
（－２，１），求OB坐标.
分析：要求得OB的坐标，只要求得DB的坐标即可.
解：由 AD＝（３，７）， AB＝（－２，１），可有 DB
＝ AB－ AD＝
（－２，１）－（３，７）＝（－５，－６）
∴OB ＝ 2
1 DB＝ 2
1 （－５，－６）＝（－ 2
5 ，－３）
评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需
运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找
关系.
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 112练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，
并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 112习题5 4 2 ，3，6，7
(二)1预习Ｐ 113～Ｐ 115
２．预习提纲：
(1)线段定比分点坐标公式
(2)线段中点坐标公式
●板书设计
§5.4.1 平面向量的坐标表示
1.平面向量的坐标表示 2.向量的坐标运算 3.向量平行的坐标表示
ａ＝ｘj＋ｙｊ＝（ｘ，ｙ） ａ＋ｂ＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２） ａ∥ｂ（ｂ≠0）
ａ－ｂ＝（ｘ１－ｘ２，ｙ１＋ｙ２） ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝
０
λａ＝（λｘ，λｙ）
●备课资料
1.线段共线与向量共线的判断
我们知道，若 AB ∥CD，则 AB与CD共线，而 AB∥CD时，线段 AB与线段
CD是否共线呢?一般来说，应区别情况而定，其判断方法如下：
①若 AB∥CD，且直线 AB与直线 CD有公共点时，则线段 AB与线段 CD共线(即线
段AB与线段CD在同一条直线上).
②若 AB∥CD，但直线AB与直线CD无公共点(即直线AB∥直线CD）时，则线段AB
与线段CD不共线(此时线段AB∥线段CD).
［例 1］已知 A（－１，－１），Ｂ（１，３），Ｃ（２，５），那么 AB与 AC 是
否共线?线段AB与线段AC是否共线?
解：∵ AB ＝（１－（－１），３－（－１））=（２，４），
AC ＝（２－（－１），５－（－１））＝（３，６），
又２×６－３×４＝０，
∴ AB ∥ AC ，∴ AB与 AC 共线.
又直线AB与直线AC显然有公共点A，
∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线.
综上， AB 与 AC 共线，线段AB与线段AC也共线.
2.一题多解
［例2］已知?ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－２，１）、（－１，３）、（３，
４），求顶点D的坐标.
对此题，课本是利用向量相等(即 AB＝DC )来求解的(详见课本)，较为简便.另外，
此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同
学们的解题思路，下面就介绍这两种解法.
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出?ABCD(如图)，设顶点 D 的坐标为
（ｘ，ｙ），并连结OA、OD，则OD＝OA＋ AD .
∵ AD＝BC，∴OD＝OA＋BC
∴（ｘ，ｙ）＝（－２，１）＋（３－（－１），４－３）
＝（－２，１）＋（４，１）＝（２，２）
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法二：(利用向量减法)
先依题意在坐标系内作出?ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(ｘ，
ｙ)，并连结OA、OD，
则OD＝ AD－ AO
∵ AD＝BC，∴OD＝BC－ AO，
∴(x,y)＝（３－（－１），４－３）－（０－（－２），０
－１）＝（４，１）－（２，－１）＝（２，２）
∴顶点D的坐标为(2，2).
●教学后记
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