余弦定理教案 1
教学目标
1．掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余
弦定理．
2．理解余弦定理与勾股定理的关系．
教学重点和难点
重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内
容；初步对余弦定理进行应用．
难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟
练记忆．
教学过程设计
(一)师生共同复习正弦定理．
正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系，即在一个三角
形中，各边和它所对角的正弦成正比．
请同学们回忆一下正弦定理的证明过程．
(二)教师讲述新课．
前面我们学习正弦定理时同学们已知道(1)如果已知三角形的两个
角和任一边，我们用正弦定理可求出其它两边和一角．(2)如果已知三
角形的两边和其中一边的对角，我们用正弦定理可求出另一边的对角，
再进一步求出其他的边和角．
现在我们来研究，如果已知三角形的一个角和夹此角的两边，能否
求出此角的对边呢？
如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．
∴b2＝a2＋c2＋2accos(180°－B)，
b2＝a2＋c2－2accosB．
这个式子就表达了第三边b与另两边a和c及他们夹角之间的关系．
b2＝a2＋c2－2accosB，
同理可证出，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
c2＝a2＋b2－2abcosC．
我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方
的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助记忆公式，同时
要求学生用语言叙述余弦定理，促进对公式的记忆．
教师引导学生注意以下问题．
(1)如三角形中有一个角是直角，三角形是直角三角形．如∠C＝
90°，则cosC＝0．
这时余弦定理为，c2＝a2＋b2－2abcos90°＝a2＋b2．这就是勾股定
理．因之，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．
(2)我们用余弦定理求角时，有时为了方便，余弦定理变形为如下
形状．
(师生共同完成以下例题)
解：这个问题是已知三角形的两边a、c，及其夹角B，直接用余弦
定理，求第三边，即∠B的对边．由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB．
∴b＝7．
解：已知三角形的三边，可用余弦定理确定角．
∴A＝45°．
例3．如图，在△ABC中，应用勾股定理证明余弦定理．
解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过顶点C作AB边上的高CD．
则CD＝bsinA，AD＝bcosA，DB＝C－bcosA，
在Rt△CDB中，BC2＝CD2＋DB2．
a2＝b2sin2A＋(c－bcosA)2＝b2sin2A＋c2－2bccosA＋b2cos2A
＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2
＝b2＋c2－2bccosA
∴a2＝b2＋c2－2bccosA．
(三)学生练习．
1．课本练习3(1)，a＝7.
2．课本练习3(2)，B＝90°．
(四)教师小结．
总结余弦定理的内容，余弦定理公式记忆的特征．余弦定理公式的
两种形式．
(1)求边形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC．
(五)作业 复习余弦定理，课本练习3．
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