0 0 类别 : 教案

正弦定理教案 教学目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。 教学重点：正弦定理及应用 教学难点：正弦定理的向量证明 教学方法; 启发式 教 具： 教学过程： 一、复习引入 1、 在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数， 可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？— —提出课题：正弦定理 二、新课讲解： 1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= c a sinB= c b sinC=1 即：c= A a sin c= B b sin c= C c sin A a sin = B b sin = C c sin 2．能否推广到斜三角形？ 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中： S△ABC= AbcBacCab sin2 1sin2 1sin2 1  两边同除以 abc2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin 3．用向量证明： 证二：过A作单位向量 j垂直于 AC AC +CB = AB 两边同乘以单位向量 j j •( AC +CB )= j • AB 则： j • AC + j •CB = j • AB ∴| j |•| AC |cos90+| j |•|CB |cos(90C)=| j |•| AB |cos(90A) ∴ AcCa sinsin  ∴ A a sin = C c sin 同理：若过C作 j垂直于CB得： C c sin = B b sin ∴ A a sin = B b sin = C c sin A C V B V j A CV B V j 当△ABC为钝角三角形时，设 A>90 过 A作单位向量 j垂直于向量 AC 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等， A a sin = B b sin = C c sin 注意： （1）正弦定理适合于任何三角形。 （2）可以证明 A a sin = B b sin = C c sin =2R（R为△ABC外接圆半径） （3）每个等式可视为一个方程：知三求一 4、应用： 例1、已知在 BbaCAcABC 和求中， ,,30,45,10 00  解： 21030sin 45sin10 sin sin,sinsin 0 0  C AcaC c A a 00 105)(180  CAB 25654 262075sin2030sin 105sin10 sin sin,sinsin 0 0 0  C BcbC c B b又 小结：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。 例2、在 CAacBbABC ,,1,60,3 0 和求中，  解： 2 1 3 60sin1sinsin,sinsin 0  b BcCC c B b 000 90,30,,60,  BCCBCBcb 为锐角， 222  cba 例3、 CBbaAcABC ,,2,45,6 0 和求中，  解： 2 3 2 45sin6sinsin,sinsin 0  a AcCC c A a 00 12060,sin 或 CcaAc 1360sin 75sin6 sin sin,7560 0 0 00  C BcbBC 时，当 ， 1360sin 15sin6 sin sin,15120 0 0 00  C BcbBC 时，当 或00 60,75,13  CBb 00 120,15,13  CBb 小结：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 注意： 时解和中，已知在 AbaABC , 三角形的情况： （1） 当 A 为 锐角 （2） 当 A 为 直 角 或 钝角 三、小结：正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。 四、作业：课本131页练习及补充题