0 0 类别 : 教案

§4.8.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.正弦函数的性质； 2.余弦函数的性质. (二)能力目标 1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3.掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法. (三)德育目标 1.渗透数形结合思想； 2.培养辩证唯物主义观点. ●教学重点 正、余弦函数的性质 ●教学难点 正、余弦函数性质的理解与应用 ●教学方法 通过引导学生观察正、余弦函数的图象，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的 理解. (启发诱导式) ●教具准备 多媒体课件或幻灯片 内容：1.正弦函数的图象，即正弦曲线 2.余弦函数的图象，即余弦曲线 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 师：上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们 有哪些性质. (打出幻灯片或多媒体课件) 师：我们一起来看正、余弦函数，它们具有如下性质： (1)定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R (2)值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜ cosx｜≤1，即 －1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝ 2  ＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－ 2  ＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1. (3)周期性 由 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值 时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周 期. 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数 的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期. 根据上述定义，可知： 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π. (4)奇偶性 由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx 可知：y＝sinx为奇函数 y＝cosx为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 (5)单调性 从y＝sinx，x∈［－ 2 3,2  ］的图象上可看出： 当x∈［－ 2  ， 2  ］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当 x∈［ 2  ， 2 3 ］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－ 2  ＋2kπ， 2  ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从 －1增大到 1；在每一个闭区间［ 2  ＋2kπ， 2 3 ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加 到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 师：下面看一些例子 ［例 1］求使下列函数取得最大值的自变量 x的集合，并说出最大值是什么. (1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R. 解：(1)使函数 y＝cosx＋1，x∈R 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y＝ cosx，x∈R 取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝. sin(x ＋ 2kπ) ＝ sinx cos(x＋ 2kπ)＝ cosx (k∈Z) 函数y＝cosx＋1，x∈R 的最大值是1＋1＝2. (2)令 Z＝2x，那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R 取得最大值的 Z的集合是｛Z｜Z＝ 2  ＋2kπ，k∈Z｝ 由2x＝Z＝ 2  ＋2kπ， 得x＝ 4  ＋kπ 即：使函数y＝sin2x，x∈R 取得最大值的x的集合是｛x｜x＝ 4  ＋kπ，k∈Z｝. 函数y＝sin2x，x∈R 的最大值是1. ［例 2］求下列函数的定义域： (1)y＝1+ xsin 1 (2)y＝ xcos 解：(1)由 1＋sinx≠0，得sinx≠－1 即x≠ 2 3 ＋2kπ(k∈Z) ∴原函数的定义域为｛x｜x≠ 2 3 ＋2kπ，k∈Z｝ (2)由 cosx≥0得－ 2  ＋2kπ≤x≤ 2  ＋2kπ(k∈Z) ∴原函数的定义域为［－ 2  ＋2kπ， 2  ＋2kπ］(k∈Z) ［例 3］求函数y＝－cosx的单调区间 解：由y＝－cosx的图象可知： 单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z) 单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z) Ⅲ.课堂练习 生：(口答)课本P56 P57，练习 2、6 (书面练习)课本P56 1、4 Ⅳ.课时小结 师：通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些 相关问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本P57，习题4.8 1、4 (二)1.预习课本P54～P56. 2.预习提纲 (1)如何灵活应用正、余弦函数的性质解决一些问题? (2)如何用数形结合思想理解有关性质. ●板书设计 课题 图象和性质 例 ●备课资料 给出下列命题： ①y＝sinx在第一象限是增函数； ②α是锐角，则 y＝sin(α＋ 4  )的值域是［－1，1］； ③ y＝sin｜x｜的周期是2π； ④ y＝sin2x－cos2x的最小值是－1； 其中正确的命题的序号是 . 分析:①y＝sinx是周期函数,自变量 x的取值可周期性出现，如反例： 令 x1＝ 4  ，x2＝ 6  ＋2π，此时x1＜x2 而sin 3  ＞sin( 6  ＋2π) ∴①错误； ②当α为锐角时， 4  ＜α＋ 4  ＜ 2  ＋ 4  由图象可知 2 2 ＜sin(α＋ 4  )≤1 ∴②错误； ③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数. 其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数. ∴③错误； ④ y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1 ∴④正确. 答案：④ 评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某 象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数. 附 1：三角函数单调区间的求法 单调性是函数的重要性质之一，求三角函数的单调区间是三角中常见的题型，现将常 用的几种方法总结如下： 一、代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角ｕ(或 t)，利用基 本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三 角函数的单调区间，即：y＝sinx 在［2kπ－ 2  ，2kπ＋ 2  ］(k∈Z)上单调递增，在 ［2kπ＋ 2  ，2kπ＋ 2 3 ］(k∈Z)上单调递减. y＝cosx在［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)上单调递增，在［2kπ，2kπ＋π］(k∈Z)上 单调递减； y＝tanx在(kπ－ 2  ，kπ＋ 2  )(k∈Z)上单调递增. 下面举例说明： ［例］求下列函数的单调递增区间： ①y＝cos(2x＋ 6  )；②y＝3sin( 3  － 2  ) 解：①设ｕ＝2x＋ 6  ，则 y＝cosｕ当2kπ－π≤ｕ≤2kπ时y＝cosu随 u的增大而 增大 又∵ｕ＝2x＋ 6  随 x∈R 增大而增大 ∴y＝cos(2x＋ 6  )当 2kπ－π≤2x＋ 6  ≤2kπ(k∈Ζ) 即 kπ－12 7 π≤x≤kπ－12  时，y随 x增大而增大 ∴y＝cos(2x＋ 6  )的单调递增区间为： ［kπ－12 7 π，kπ－12  ］(k∈Z) ②设ｕ＝ 3  － 2  ，则 y＝3sinｕ 当2kπ＋ 2  ≤ｕ≤2kπ＋ 2 3 时，y＝3sinｕ随 x增大在减小， 又∵ｕ＝ 3  － 2 x 随 x∈R 增大在减小 ∴y＝3sin( 3  － 2 x )当 2kπ＋ 2  ≤ 3  － 2 x ≤2kπ＋ 2 3 即－4kπ－ 3 7 ≤x≤－4kπ－ 3  时，y随 x增大而增大 ∴y＝3sin( 3  － 2 x )的单调递增区间为 ［4kπ－ 3 7 π，4kπ－ 3  ］(k∈Z) 二、图象法 函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图 象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观 明了了. ［例］求函数 y＝－｜sin(x＋ 4  )｜的单调 区间. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为： 显然，该函数的周期为π 在［kπ－ 4  ，kπ＋ 4  ］(k∈Z)上为单调递减函数； 在［kπ＋ 4  ，kπ＋ 4 3 ］(k∈Z)上为单调递增函数. 附 2：正余弦函数图象的对称性 现行新编高中数学试用教材，对正余弦函数 y＝sinx，y＝cosx 及 y＝Asin(ωx＋ )，y＝Acos(ωx＋ )的性质，只研究了定义域、值域、最值、奇偶性、单调性及周期性，而 没有涉及它们的对称性，事实上这些函数具有下列对称性. 性质1 函数y＝sinx的图象具有无数条对称轴，其方程为xk＝kπ＋ 2  (k∈Z) 性质 1′ 函数 y＝Asin(ωx＋  )的图象具有无数条对称轴，其方程为 xk＝        2 k (k∈Z) 性质2 函数y＝cosx的图象具有无数条对称轴，其方程为xk＝kπ(k∈Z) 性质 2′ 函数 y＝Acos(ωx＋ )的图象具有无数条对称轴，其方程为 xk＝     k (k∈Z) 掌握了它们的对称性之后，我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为 一体，显然，它们的值域为 f(xk)与 f(xk＋1)之间的一切实数组成的集合，最大、最小值由 f(xk)与 f(xk＋1)相应确定，一个单调增或单调减区间为［xk，xk＋1］，半周期 2 T ＝xk＋1－ xk(k∈Ｎ*)，可见，若能直接运用对称轴方程解题，则显得十分简明而又准确可靠. ［例 1］函数y＝sin(2x＋ 2 5 )的图象的一条对称轴方程是( ) A.x＝－ 2  B.x＝－ 4  C.x＝ 8  D.x＝ 4 5 方法一：运用性质 1′,y＝sin(2x＋ 2 5 )的所有对称轴方程为 xk＝ 2 k －π(k∈Z), 令 k＝－1,得 x－1＝－ 2  ，对于 B、C、D都无整数k对应. 故选 A. 方法二：运用性质 2′，y＝sin(2x＋ 2 5 )＝cos2x，它的对称轴方程为 xk＝ 2 k (k∈Z)，令 k＝－1，得x－1＝－ 2  ，对于 B、C、D都无整数k对应，故选 A. ［例 2］在下列区间中函数y＝sin(x＋ 4  )的单调增区间是( ) A.［ 2  ，π］ B.［0， 4  ］ C.［－π，0］ D.［ 4  ， 2  ］ 分析：函数 y＝sin(x＋ 4  )是一个复合函数即 y＝sin［ (x)］， (x)＝x＋ 4  ，欲求y＝sin(x＋ 4  )的单调增区间，因 (x)＝x＋ 4  在实数集上恒递增，故应求使y 随 (x)递增而递增的区间. 方法一：∵ (x)＝x＋ 4  在实数集上恒递增，又 y＝sinx在［2kπ－ 2  ，2kπ＋ 2  ］(k∈Z)上是递增的，故令 2kπ－ 2  ≤x＋ 4  ≤2kπ＋ 2  ∴2kπ－ 4 3 ≤x≤2kπ＋ 4  ∴y＝sin(x＋ 4  )的递增区间是［2kπ－ 4 3 ，2kπ＋ 4  ］ 取k＝－1、0、1，分别得［－ 4 11 ， 4 7 π］、［－ 4 3 ， 4  ］、［ 4 5 ， 4 9 ］， 对照选择支，可知应选B 像这类题型，上述解法属常规解法，而运用 y＝Asin(ωx＋ )的单调增区间的一般结 论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种 颇具新意的简明而又准确、可靠的方法. 方法二：函数y＝sin(x＋ 4  )的对称轴方程是： xk＝kπ＋ 2  － 4  ＝kπ＋ 4  (k∈Z)，对照选择支，分别取k＝－1、0、1，得一个递 增或递减区间分别是［－ 4 3 ， 4  ］或［ 4  ， 4 5 ］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个 单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得. ［例 3］若函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－ 8  对称，试求 a的值. 解：显然 a≠0，如若不然，x＝－ 8  就是函数 y＝sin2x的一条对称轴，这是不可能 的. 当 a≠0 时 ， y ＝ sin2x ＋ acos2x= )2cos(1)2sin 1 12cos 1 (1 222 2      xax a x a aa 其中cosθ＝ 22 1 1sin, 1 aa a     即 tanθ＝ a 1 cos sin   函数y＝ 21 a cos(2x－θ)的图象的对称轴方程的通式为2xk＝kπ＋θ(k∈Z) ∴xk＝ 22  k ，令 xk＝－ 8  22  k =－ 8  ∴θ＝－kπ－ 4  ∴tanθ＝tan(－kπ－ 4  )＝－1. 即 a 1 ＝－1，∴a＝－1为所求. 附 3：精析周期函数 中学课本中写着：“对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x取定义 域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零 的常数T叫做这个函数的周期.”书中又说，对于一个周期函数来说：“如果在所有的周期 中，存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.” 这个定义是采用内涵定义法定义的，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵(性 质)和外延(对象)两个方面来分析，应注意以下几点： 1.式子 f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何 x，式子都成立. 而不能是“一个 x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个 反例就行了. 例如：由于sin(12  ＋ 6 5 )＝sin12  ，即sin(x＋ 6 5 )＝sinx.该式中x取12  时 等式成立，能否断定 6 5 是sinx的周期呢?不能，因对于其他一些 x值该式不一定成立. 如 x＝ 6  时，sin(x＋ 6 5 )≠sinx． ［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗? 解：不是，举反例，当 T＝2π时，令 x＝－2π，则有 cos(x＋2π)＝cos(－2π＋ 2π)＝cos0＝1，但 x＝0，不属于题设的定义域，则 x不能取－2π，故 y＝cosx(x≠0)不 是周期函数. 2.式子 f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言. 例如，由 cos( 3 x ＋2kπ)＝cos 3 x (k∈Z)，是否可以说 cos 3 x 的周期为 2kπ呢?不 能!因为 cos( 3 x ＋2kπ)＝cos 3 6 kx  ，即 cos 3 6 kx  ＝cos 3 x (k∈Z)，所以 cos 3 x 的周期是 6kπ，而不是2kπ(k∈Z). 3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a (常数)，显然任何 一个正数T都是 f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数 f(x)＝a无最小 正周期. 4.设 T 是 f(x)(x∈R)的周期，那么 kT(k∈Z，且 k≠0)也一定是 f(x)的周期，定义规 定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了 T的取值范围，只要求不为零，不 要误认为T一定是π的倍数. 众所周知，函数 y＝Asin(ωx＋ )的周期即最小正周期是 T＝ || 2   ，函数 y＝ Acos(ωx＋ )的周期也是T＝ || 2   ，函数y＝Atan(ωx＋ )的周期是T＝ ||  ，不难看 到，上述各函数的周期中都含有“π”，而且，同学们所见到的课本例题及习题中的周期 函数的周期中也都含有“π”，于是，有的同学认为：周期函数的周期一定含“π”. 事实上，这种看法是错误的，实际上，有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如 下面几例： ［例 1］函数y＝sinπx的周期是T＝  2 ＝2． ［例 2］函数y＝tan2πx的周期是T＝ 2 1 2   ． ［例 3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何 x的值，都有 f(x＋1)＝f(x)成立，则由 周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期. ［例 4］设 f(x)定义在R 上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4)． 求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期. 证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4) ① ∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5) ② ①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5) ③ 由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8) ④ ∴f(x＋2)＝f(x＋8) 即 f(x)＝f(x＋6) ∴f(x)为周期函数，一个周期为 6. 5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的， 实质上我们学过的非周期函数 f(x)(如 y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义 域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函 数y＝x2(x∈R)在其定义域R 内限制在(－1，1)，然后将 y＝x2(－1＜x≤1＝的图象左、右平 移，可以延拓为最小正周期为 2的周期函数 f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1），k∈Z， 如图： ［例］已知 f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在 R 上的一个周期为 2的函数ｇ (x)，使x∈(－1，1］时，ｇ(x)＝f(x). 解：由ｇ(x)的周期性可画出ｇ(x)的图象.如图： 对于任意的 x∈R，x一定在周期为 2的区间(2ｎ－1，2ｎ＋1]内，则 x－2ｎ∈(－ 1，1］. ∴ｇ(x)＝ｇ(x－2ｎ)＝f(x－2ｎ)＝｜x－2ｎ｜， 即ｇ(x)＝     nxnnx nxnnx 212,2 122,2 评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量 x必须取遍定义域内的每一个值. (2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运 用自如. ●教学后记