同角三角函数基本关系式的应用教案 1
教学目标
1．使学生能准确地应用同角公式化简三角函数式．
2．能较灵活地应用同角公式对三角恒等式进行证明．
3．培养学生的观察能力，根据题目特点选择适当方法．
教学重点与难点
观察题目特点，正确使用公式，选择适当方法．
教学过程设计
师：上次课我们研究了同角公式和它的一些简单应用，回忆一下研
究的过程，我们是从三角函数的六个定义式出发，观察并且可用代数方
法证明而得到了同角的八个关系式，也就是同角公式．下面请一个同学
说一说都有哪些关系式．
生：倒数关系
sinα·cscα=1，{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}．
平方关系
sin2α＋cos2α=1，a∈R．
csc2α－cot2α=1，{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}．
商关系
师：很好．我们学习同角公式，不仅要记准这八个公式，还要熟悉
它们各自的变形．比如公式
还可以写成
sinα＝cosα·tanα．
公式
csc2α－cot2α=1
还可以写成
csc2α=1＋cot2α．
那么，cosα又可以写成什么形式呢？请一位同学回答．
生：cosα=sinα·cotα．
师：很好．对这八个公式的变形也要很熟悉，应用起来才会得心应
手．上节课我们见过几个例题，这些例题告诉我们，假若给了角α的
一个三角函数值，则可求其余的三角函数值．这实际上是同角公式的一
个应用．那么除了这种情况以外，同角公式还有其他的应用吗？今天我
们就一起研究一下同角公式的其他应用．(边说边板书)请看
例 1 化简下列各式：
师：(1)题你打算怎样做？
(生思考)
(程度比较好的同学能够说出 1＋tan2α=sec2α，csc2α－1=cot2α，
此时，有的同学已经在小声说：1＋tan2α可以化简．)
师：有的同学已经有思路了．
师：准确吗？
生：(思考)应是|secα|．
师：好．既然要化简，我们就应看绝对值符号能不能依据条件取消？
生(齐答)：能．
师：怎样取消绝对值符号？说出依据．
生：题目中给出条件α为第四象限的角，而角α在第四象限时，|
secα|=secα．
生：能．
师：自己在笔记本上完成．(老师巡视，大部分同学基本做完时，
请一位同学写到黑板上)
因为α为第四象限的角，所以|cosα|=cosα，|cotα|=－cotα．
师：这位同学做完了，看一下自己做的结果与黑板上是否一致？
生(有的说)：不一致．
师：谁错了？错在哪？我们先看同学甲做的第一步有错吗？
生甲：我做错了．
师：错在哪？
师：好．同学甲自己发现错误了．你能把黑板上错的地方改正吗？
生甲：能．
师：好．你上来改．其他同学检查一下自己写的是否正确．
(一会儿，学生甲改完，回到座位上．)
师：我们看同学甲的改错：
因为α为第四象限的角，所以
师：这次对了吗？
生：(齐答)对了．
师：这告诉我们，公式要记熟、记准，不要记错，否则，题目是做
不对的．此外，他的化简过程我们可以再简化一下吗？
生：可以．
sec2α－1=tan2α，
利用公式直接出结果．
师：由此题可以看出，一些同学对正割、余割的写法还不太熟练．
有时可以把正、余割化为正、余弦，有时则不必化．
师：下面看(2)题，注意角的范围，注意值的符号．自己先在练习本
上做，第一要准确，第二才是速度．(巡视)
(请一位同学到黑板上来做．)
=－2tanα．
师：做这道题有困难吗？
生：没有．
师：做此类题时，要注意正确使用同角公式，有绝对值符号时依据
条件选取正、负号．这是同角公式的又一应用．下面我们看它的第三个
应用．(边说边板书)
例 2 证明恒等式：
(1)cot2α(tan2α－sin2α)=sin2α；
(2)(1－sin2A)(sec2A－1)=sin2A(csc2A－cot2A)；
(4)tan3α＋cot3α=sec3α·csc3α(1－3sin2α·cos2α)；
(注：后四道题可陆续给出)
师：证明恒等式常见的有哪些方法？
生：(齐答)一边推；两头挤．
师：“一边推”就是从一边开始证得它等于另一边，那么，究竟从
哪边开始入手呢？
生：从麻烦的、复杂的一边推到简单的一边．
师：也就是“由繁到简”．好，下面我们看(1)题，从哪边入手呢？
生：从左边．
师：你能独立完成吗？
生：能．(低头演算)
师：做出来的举手．(大部分举手)请一位同学说一下思路．
生：从左边入手，利用乘法对加法的分配律乘开，稍加整理便可得
右．
师：非常好．这就是所谓的“一边推”．那么“两头挤”是什么呢？
生：左=A，右=A，左、右两边都可得到同一个式子，则左、右两边
相等．
师：什么情况下用“两头挤”的方法呢？
生：两边都比较复杂的时候．
师：我们看(2)题．请一位同学口述证明过程．
生：用“两头挤”的方法，
左=cos2A·tan2A=sin2A，右=sin2A·1．因为左=右，所以原式成立．
师：清楚吗？
生：清楚．
师：好．这是我们常用的两种方法．实际上有些题目也常常采用
“分析法”，我们看(3)式：
“分析法”就是：要证原式成立，只需证一个和它等价的式子成立
即可；要证和它等价的这个式子成立，只需证和这个式子再等价的式子
成立……这样反复下去，得到一个显然成立的式子，因而原式成立．
(3)式中的左、右两边繁简程度相似，因此不宜用一边推；就我们目
前所学的知识，用两头挤的方法也不妥，因此我们考虑用分析法．
分析与证明 要想证明原式，只需证明
(1－sinα)(1＋sinα)＝cos2α，
这又只需证明：1－sin2α=cos2α．
由同角三角函数的平方关系知，上述分析过程的最后一个式子是成
立的，由此反推回去，就证明了原式(3)．
而这是显然的，因而原式(3)成立．
生：不写这些文字，行吗？
师：不行！那样就成为下面形式：
证 (1－sinα)(1＋sinα)=cos2α，1－sin2α=cos2α，
所以原式成立．
这种写法不是分析法，逻辑上不对．用分析法写就必须写上这些文
字．(以后会
师：以上讲的是用分析法证明恒等式，不用分析法行吗？
生：证明左－右=0，也能证出左=右．
师：对．这也是一种方法，同学自己证一下．
生：(低头演算)
(指定一个同学到黑板上来写)
师：看看自己是否都做对了．通过这三个题，我们感觉到根据不同
的题目，可以选择适当的方法．三角恒等式的证明往往是一题多解，注
意开阔思路，选择适当的方法．由于三角恒等式的证明方法较多，还要
注意技巧的应用．下面我们看(边说边板书)
(4)tan3α＋cot3α=sec3α·csc3α(1－3sin2α·cos2α)．
师：这式子左边有哪些函数？
生：正切函数、余切函数．
师：式子右边呢？
生：(齐答)正、余割函数，正、余弦函数．
师：也就是说，六个函数形式都出现了，能不能把它们简化一下呢？
(生思考)
生：正、余切函数，正、余割函数都可以用正、余弦函数表示．这样
就把原来的六种形式简化为两种形式了．
师：非常好．这就是常说的“切、割化弦”，同学自己完成这个题
目的证明．
(生低头演算．这时老师可以把证明过程用投影仪投到屏幕上．)
=sec3α·csc3α(1－3sin2αcos2α)=右．
所以原式成立．
师：同学看投影．在这个题目的证明中，用到了立方和公式，其中
sin2α＋cos2α=1使式子得到了简化．1在此题中出现了两次．同角公式
中，有六个式子都与 1有关，也就是说，1可以由如下式子代替：
1=sin2α＋cos2α，1=tanα·cotα，
1=sec2α－tan2α，1=sinα·cscα，
1=csc2α－cot2α，1=cosα·secα．
下面我们看(边说边板书)：
师：这里面有 3个“1”，怎样化简呢？
生：左边的 1可以用 sec2α－tan2α来代替．
师：代换一个“1”呢，还是两个都代换？
生：(思考一会)代换一个．
师：代换哪一个呢？
生：哪一个都可以．
师：我们代换分子的“1”试一试．
(老师边板书边说)
=secα＋tanα
所以原式成立．
代换分母“1”的效果与代换分子“1”效果一样，要是左式的两个
“1”同时代换，会怎样呢？
生：(齐答)左式起不到化简的作用．
师：把等式右边的“1”代换掉呢？
生：(齐答)也起不到化简的作用．
师：由此我们可以看出，一道题里，多个位置有“1”，而代换哪
一个“1”，效果是不同的，因此我们要注意根据题目特点，有目的的
选择．
这个题是采用了“代换 1”的技巧．证明恒等式，要注意充分利用
题目中的条件．
师：哪位同学小结一下证明恒等式的常用方法？
生：有三种常用方法，它们分别是：“一边推”；“两边挤”；
“分析法”．
师：“分析法”要注意，该写的文字不要省略．我们证明三角恒等
式，主要依据是什么呢？
生：(齐答)同角公式．
师：我们现在学习了同角公式的哪几方面应用？
(生思考)
生：化简三角函数式和证明三角恒等式．
师：这是我们这节课掌握的两个应用．上次课还学习了一个应用，
是什么？
生：已知一个角α的一个三角函数值，求其它五个三角函数值．
(边复述学生的语言边把它们小结写在黑板上：1…，；2…；3…)
师：随着我们学习知识的不断增多，同角公式还会有多种用处，如
在学习了“三角方程”以后，还可用同角公式解三角方程等等．同角公
式应用是很广泛的，大家要牢固掌握，并逐步做到灵活应用．今天的课
就到这里．
作业
课本 P149～P150习题十二第 14，19题．
课堂教学设计说明
这节课是在讲完了“同角公式”以后的一节应用课．上次课已经讲
了一个应用：已知角α的一个三角函数值，求其他几个三角函数值．
这节课主要是讲另外两个应用：化简三角函数式和证明三角恒等式．
化简三角函数式时，选取的两个例题都是让学生根据题目已给角α
的象限，自己判断取什么符号的题目．主要考虑是：如果有的学生对绝
对值概念及公式
运用不好，那么在这里是一个复习；其次上节课刚讲完的根据角α
的所在象限决定选取正、负号的问题，在这里是一个强化，以期使学生
掌握得更牢固．
证明恒等式时，由于前两种方法同学们比较熟悉，因此，选了两个
具有明显题目特征的书上例 6和例 8，学生比较容易理解．在讲“分析
法”证明第(3)题时，学生显然不如前两个题做得顺畅，在以后的作业中，
有的同学用“分析法”证明的格式还会出现问题，该写的文字不写，因
此，在这里就强调：该写的文字不能省略．在不断
题多解”，比如课本上对于题目
的证明，给出了证法二，这对于开阔学生思路很有益处，从多种方
法才可能选择出比较简捷的方法．
在讲完几种基本证法后，为了强化学生对公式的变形的作用的理解，
又选择了两个常用的技巧性的题目，一个是“切割化弦”，一个是
“1”的妙用．
在讲“切割化弦”时，主要是要对公式的内容比较熟悉．在讲
“1”的妙用时，先把同角公式中与 1有关的六个式子带着大家重温一
下，每一个式子里都是哪两个三角函数值的平方和或平方差为 1，要胸
中有数，这样，拿到一个具体的题目，根据题目特征，一眼就可知道把
“1”变换成三个式子中的哪一个．是全都换掉，还是只换个别的哪一
个，这就要求学生有所预见，或者碰壁后再改换其他方法．在这里可以
看出，对于公式要记熟，对于公式的变形也要很熟悉，做起题来才会灵
活运用．
最后，让学生把一节课(或一单元)的内容小结一下，说得不确切的
地方，可由老师再补充．这是因为，“回顾”或者说是“反思”是很重
要的一个学习方法，只有学生自己的不断回顾，才能找到新旧知识之间
的联系，才能使学生不仅学会数学，而且会学数学，教师才能交给学生
一把开启数学知识宝库的钥匙．
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