充分条件与必要条件教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.充要条件的概念.
2.判断命题的条件的充要性的方法.
3.把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.
(二)能力训练要求
1.理解并掌握充要条件的概念.
2.掌握判断命题的条件的充要性的方法.
3.培养学生简单的逻辑推理的思维能力.
(三)德育渗透目标
使学生充分认识对逻辑知识，特别是充要条件的判断及推理在日常生活、学
习和工作中是认识问题及分析问题不可缺少的工具．
●教学重点
1.理解充要条件的意义.
2.命题条件的充要性判断.
●教学难点
命题条件的充要性判断.
●教学方法
讲、练结合教学法
本节在学生掌握充分条件与必要条件的基础上，对充要条件的意义的理解
是较容易的，但充要条件是数学中最重要的概念之一，数学推理的过程，计算
方法以及问题的解决等都要靠它去完成．因此在本节教学中更充分调动学生主
动运用这个概念去分析问题．解决问题，提高和培养学生把充要条件的思想自
觉地运用到解题过程之中的逻辑思维能力．
●教具准备
多媒体课件或投影片2张
第一张：(记作§1．8．2 A)
试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(1)若 a是无理数，则a＋5是无理数．
(2)若 a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．
第二张：(记作§1．8．2 B)
指出下列各组命题中，p是 q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要
而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0．
(2)p：同位角相等，q：两直线平行．
(3)p：x＝3，q：x2＝9．
(4)q：四边形的对角线相等．q：四边形是平行四边形．
(5)p：x 32 x ＝x2，q：2x＋3＝x2．
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
［师］由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?
［生］充分不必要条件；必要不充分条件；充分必要条件；既不充分又不
必要条件．
［师］本节课将继续研究命题中充分必要条件．
Ⅱ.讲授新课
§1．8．2 充要条件
［师］请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(投影片§1．8．2 A)
下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(1)若 a是无理数，则a＋5是无理数．
(2)若 a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．
［生］命题(1)中因：a是无理数 a＋5是无理数，所以“a是无理数”是
“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数 a是无理数”则“a是
无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5
是无理数”的充分必要条件．
［师］回答正确．由上述命题(1)的条件判定可知：(板书)：
一般地，如果既有 p q，又有 q p，就记作：“p q”，“ ”叫做
等价符号，“p q”表示“p q”且q p”．
这时p既是p的充分条件，又是 q的必要条件，则 p是q的充分必要条件，
简称充要条件．
［师］下边请回答命题(2)，(3)．
［生］命题(2)中因“a＞b a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c a＞
b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
命题(3)中因：“一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等实根 Δ＞
0”，又有“Δ＞0” “ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”
则“一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的
充要条件．
［师］下面讨论并解答下列例题：
(投影片：§1．8．2 B)
指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分
又不必要条件”中选出一种)?
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
(2)p：同位角相等，q：两直线平行．
(3)p：x＝3，q：x2＝q．
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(5)p：x 32 x ＝x2；q：2x＋3＝x2．
［生］命题(1)中因“(x－2)(x－3)＝0 x＝2 或 x＝3 x－2＝0”；而
“x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．
［生］命题(2)中因“同位角相等 两直线平行”，所以 p是 q的充要条件.
命题(3)中因“x＝3 x2＝9”，而“x2＝9” x＝3”，所以p是q的充分
而不必要条件．
命题(4)中因“四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，又因“四边
形是平行四边形 四边形的对角线相等．”所以 p是 q的既不充分又不必要条
件．
命题(5)中因：p：x 32 x ＝x2 x( 32 x －x)＝0，解得 x＝0 或 x＝
3；q：2x＋3＝x2得 x＝－1或 x＝3．则有p q且 q p．所以 p是 q的既不充分
也不必要条件．
［师］由命题(5)可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行
推理判定.
［师］再讨论解答下列例题：
设集合 M＝｛x｜x＞2｝，P＝｛x｜x＜3｝，则“x∈M 或 x∈P”是
“x∈M∩P”的什么条件?
［生］解由“x∈M 或 x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：
x∈｛x｜2＜x＜3＝．
则由x∈P，即 x∈｛x｜x＜3＝ x∈｛x｜2＜x＜3｝．但由“x∈｛x｜2＜
x＜3｝ x∈｛x｜x＜3｝，即 x∈P．
故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．
Ⅲ．课堂练习
课本 P36，练习题1、2
Ⅳ．课时小结
本节课主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果 p q且 q p，则 p
是q的充要条件．
Ⅴ．课后作业
(一)书面作业
课本 P37习题1．8 1．(3)、(4)；2．(4)、(5)、(6)；3．
(二)1.预习内容：小结与复习
2.预习提纲：
(1)本章所学知识的主要内容是什么.
(2)本章知识内容的学习要求分别是什么?
●板书设计
§1．8．2 充要条件
充要条件的概念
如果既有 p q，又有 q p，那么 p就是 q的既充分又必要条件，即充要
条件．
小结(略)
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