集合教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.了解有限集、无限集概念．
2.掌握表示集合方法．
3.了解空集的概念及其特殊性．
(二)能力训练要求
通过本节教学，培养学生逻辑思维能力．
(三)德育渗透目标
渗透抽象、概括的思想．
●教学重点
集合的表示方法，空集．
●教学难点
正确表示一些简单集合．
●教学方法
自学辅导法
在学生自学基础上，进行概括、总结．
●教具准备
投影片三张
第一张：(记作§1．1．2 A)
请用列举法表示下列集合：
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程 x2－9＝0的解的集合
(4)｛15以内的质数｝
(5)｛x｜ x3
6 ∈Z，x∈Z｝
第二张：(记作§1．1．2 B)
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点
(2)抛物线x2＝y上点的横坐标
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合
第三张：(记作§1．1．2 C)
补充练习
1.方程组
5
2
yx
yx
的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为_
______________．
2.｛(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N｝用列举法表示为____________．
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明．
集合与元素关系是什么?如何表示?
Ⅱ．讲授新课
1.集合的表示方法
通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：
(1)列举法：把集合中元素一一列举出来的方法．
(2)描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
［师］由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为｛－1，1｝，不等
式x－3＞2的解集可以表示为｛x｜x－3＞2｝．
下面请同学们思考：
投影片：(§1．1．2 A)
请用列举法表示下列集合
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程x2－9＝0的解的集合
(4)｛15以内的质数｝
(5)｛x｜ x3
6 ∈Z，x∈Z｝
［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3．故用列举法表示为｛1，3｝
(2)能被 3整除且大于 4小于 15的自然数有 6，9，12．故用列举法表示为
｛6，9，12｝
(3)方程x2－9＝0的解为－3，3．故用列举法表示为｛－3，3｝
(4)15 以内的质数 2，3，5，7，11，13．故该集合用列举法表示为
｛2，3，5，7，11，13｝
(5)满足 x3
6 ∈Z 的 x 有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之 x＝
2，4，1，5，0，6，
－3，9．故用列举法表示为｛2，4，1，5，0，6，－3，9｝
［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?
［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在．
［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”
隔开并放在大括号内．
除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的
形式，试用描述法表示下列集合．
(6)到定点距离等于定长的点
让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果
｛(x，3)｜(x－a)2＋(y－b)2＝r2｝
(7)方程组
2732
223
yx
yx
的解集为
2732
223|),( yx
yxyx
(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合｛x｜x2－x－2＞0｝
下面给出问题，经学生考虑后回答：
投影片：(§1．1．2 B)
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点．
(2)抛物线x2＝y上点的横坐标．
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标．
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合．
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合．
［生］(1)集合中的元素是点．它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实
数对，可表示为｛(x，y)｜x2＝y｝
(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为
｛x｜x2＝y｝
(3)集合中的元素是实数．该实数是符合条件的平面上点的纵坐标．用描述
法表示即为
｛y｜x2＝y｝．
(4)该集合中元素是点．而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实
数，所以可以表示成｛x∈R｜｜x｜＞6｝．
(5)平面直角坐标系中点是该集合元素．该点可以用一对有序实数对表示，
用描述法即可表示为｛(x，y)｜xy＞0｝．
［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?
［生］(经讨论后得出结论)
解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素．
［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，
但必须抓住其实质．
［师］再看两例
1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；
2.｛x｝，｛x，y｝，｛(x，y)｝的含义是否相同．
［生］2．｛x｝表示单元素集合；
｛x，y｝表示两个元素集合；
｛(x，y)｝表示含一点集合.
而对于 1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为｛1，4，9，25，
…，1002｝.
2.集合的分类
师指出：
(1)有限集——含有有限个元素的集合．
(2)无限集——含有无限个元素的集合．
那么投影(§1．1．2 A)中的集合和(§1．1．2 B)中的集合是有限集还是
无限集，经重新投影后，学生作答．
［生］投影片(§1．1．2 A)中的五个集合都是有限集．
投影片(§1．1．2 B)中的五个集合都是无限集．
3.空集
［师］表示空集，既不含任何元素的集合．
例如：｛x｜x2＋2＝0｝，｛x｜x2＋1＜0｝
请学生相互举例、验证，师补充说明：
［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．如图：
表示任意一个集合A
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元
素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本 P6练习1、2
1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示
｛x∈N｜x＞10｝；
它是一个无限集．
(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：
｛2，3，6｝；
它是一个有限集．
(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：
｛－2，2｝；
它是一个有限集．
(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：
｛2，3，5，7｝；
它是一个有限集．
2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：
｛x｜x是4与6的公倍数｝；
它是一个无限集．
(2)该集合可用描述法表示如下：
｛x｜x＝2n，n∈N*｝；
它是一个无限集．
A
3,9,27
4,6,10
(3)该集合可用描述法表示如下：
｛x｜x2－2＝0｝；
它是一个有限集．
(4)不等式 4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：
｛x｜x＜ 4
11｝；
它是一个无限集．
问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法．
(二)补充练习
投影片：(§1．1．2 C)
补充练习
1.方程组
5
2
yx
yx
的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为__________
_____．
2.｛(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N｝用列举法表示为_______________．
［师］问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么?
上述两例的元素．例 1为方程组的解，例 2为方程的解．
1.解：因
5
2
yx
yx
的解集为方程组的解．
解该方程组 x＝ 2
7 ，y＝－ 2
3
则用列举法表示为｛( 2
3,2
7 )｝
用描述法表示为
5
2|),( yx
yxyx
2.解：因 x＋y＝6，x，y∈N的解有：
0
6 1
5 2
4 3
3 4
2 5
1 6
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
故列举法表示该集合，就是｛ (0，6)，(1，5)，(2，5)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，
(6，0)｝
Ⅳ.课时小结
1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有
限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以．
2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究．
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P7习题 1．1 2，3．
2.解：(1)因组成中国国旗图案的颜色为红色，黄色．故可用列举法表示该集合｛红，
黄｝，有限集．
(2)因世界上最高的山峰为珠穆朗玛峰．故该集合用列举法表示｛珠穆朗玛峰｝，它是
有限集．
(3) 由 题 构 成 的 自 然 数 为 一 位 数 、 二 位 数 、 三 位 数 ． 即 为
｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，它是有限集．
(4)满足题意的平面内点有无数个．用描述法表示｛P｜P0＝ｌ｝(0是定点，ｌ是定长)，
它是无限集．
3.解：(1)因题是用列举法表示．其描述法就是｛x｜(x－1)(x－5)＝0｝
(2)因｛x｜x2＋x－1＝0｝是用描述法表示．故其列举法为｛ 2
51,2
51 ｝．
(3)因｛2，4，6，8｝是用列举法表示．则其描述法就是｛x｜x是大于 1且小于 9的偶
数｝．
(4)因｛x∈N｜3＜x＜7｝是用描述法表示．则其列举法为｛4，5，6｝.
(二)预习内容：1.预习课本 P7～P8 子集，子集的概念及空集的性质.
2.预习提纲：
(1)两个集合 A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
(2)一个集合 A是另一个集合 B的真子集，则其应满足条件是什么?
(3)空集有哪些性质?
●板书设计
§1．1．2 集合
1.集合的表示方法 3.空集的意义
(1)列举法
(2)描述法
2.集合的分类 小结
有限集、无限集 作业
练习
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