集合教案
教学目标
1．初步理解集合概念及其表示法，按指定的方法表示一些集
合．
2．理解集合中元素的性质．
3．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．
教学重点与难点
教学重点是集合概念及其表示法．教学难点是正确理解集合
概念．
教学过程设计
师：初中时我们已学习了哪些基本数集？
生：自然数集、整数集、有理数集、实数集等．
师：当时是如何给出这些概念的，例如自然数集？
生：自然数的全体组成自然数集．
师：如何表示自然数集？
生：在椭圆圈内填上一些自然数，点上三点，在圈下写上
“自然数集”，用此形式表示自然数集．
师：初中已学过的数集就是今天要学习的“集合”中的一种．
(板书课题：1．1集合(一))
(温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上
去探求新知识，使学生对出现的概念不致于感到突然，符合学生
的认识规律．)
师：上述每一个数集中的数是否确定？即是否有着明确的标
准判断任何一个对象在或不在该数集中？如2，－2是否在自然数
集合中？
生：2在自然数集中，而－2不在．说明数集中的元素是确定
的．
师：由上可知，任给一个数可以确定它要么在该数集中，要
么不在该数集中，两者必居其一．这些在数集中的每一个数叫做
数集中的元素．数集中的元素必须具有确定性，这是数集中元素
的一个特性．
(启发学生对已有的知识进行深入分析、提炼，使潜在的特性
昭之于世．)
师：非常大的一些自然数能形成一个数集吗？为什么？
生：(议论后)不能．因为非常大的自然数有多大不知道，不
具有确定性．
(通过正反两方面的例子，使学生在对比中明确数集中元素的
特性之一——确定性的重要性．)
师：上述所讲都是一些数构成的集合．那么，只有数才能形
成集合吗？其实不然，构成集合的元素只要具有确定性即可．
(通过分析数集中元素的特征展开联想、分析、探索，为集合概
念引入由特殊到一般进行铺垫．)
师：回答下列每组对象是否确定？对象是什么？
例1 下列对象是否构成集合？对象的属性是什么？有多少对
象？
(1)所有的直角三角形．
(2)与一个角的两边距离相等的所有的点．
(3)x2，3x+2，5y2－x，x2+y2．
(4)本校高一学生(420名)．
(5)本班第一小组12人中共有5个姓氏：李、陈、黄、张、明．
生：每组对象都能确定，按题号依次是：一些图形，一些点，
一些整式，一些人，一些姓氏．
师：上述每一组对象都能予以确定，我们就认为每一组对象
的全体形成一个集合(简称集)．集合里的各个对象叫做这个集合
的元素．
(由特殊到一般得出集合的描述性概念，使数集的概念拓宽
了．)
师：你认为上述五个集合中的元素种类是否受限制？
生：集合中的元素种类可以是任意的，没有限制．
师：对．集合中的元素具有“任意性”是集合元素的又一特
性．只要集中元素具有确定性即可．
(及时总结是人类进步的原因，也是数学工作者的工作手
段．)
师：大家对上述集合进行观察，每一个集合的元素是什么？
元素个数各具什么特征？
生：(1)中的元素是直角三角形，有无数多个．
(2)中的元素是点，也有无数多个．
(3)中的元素是整式，有4个．
(4)中的元素是学生，有420个．
(5)中的元素是姓氏，有5个．
师：回答正确．其个数特征是：类似于(1)、(2)中的集合，含
有无限个元素，具有这种特征的集合我们称为无限集；类似于
(3)、(4)、(5)中的集合，含有有限个元素，具有这种特征的集合叫
有限集．
(通过问题得出概念，使学生在问题中牢记概念的实质．)
师：请各举一个有限集、无限集的例子．
生：(回答)……
师：你认为(5)中集合的元素个数为什么不是12个而只有5
个？
(再一次通过提问去揭示集合的又一特性．)
生：因为有些姓氏相同．
师：从(5)中你认为集合的元素能重复吗？
生：不能．
师：由此可见，集合中的元素应该分别表示不同的对象，而
相同的对象归入某一个集合时，只能算作集合的一个元素．集合
中元素无重复现象，即元素的“互异性”是集合的又一特性．
师：上述姓氏集合是由陈、李、黄、张、明五个元素组成的．能
否说由陈、李、黄、张、明姓氏组成的集合与由明、张、黄、李、陈姓氏
组成的集合是同一个集合？
生：应该是同一个集合．
师：集合中元素的这一特性我们称其为“无序性”．综合上
述，集合中的元素有几个特性？
生：确定性、互异性、无序性、任意性．
(通过设问，及时归纳、总结，有利于学生掌握知识．)
师：上面研究了集合的概念及有关集合中元素的性质，下面
我们一起将集合表示出来．
(承上启下一语带出需解决的问题．)
师：初中我们是如何表示数集的？
师：这种表示集合的方法即为图示法．此外，还有一种表示
法是将所有元素一一列出，写在大括号内，称为列举法．
(顺手牵羊，自然产生．)
例如上述(3)之集合可表示为{x2，3x+2，5y2－x，x2+y2}．请
同学们用此法表示(5)之集合．
生：{明、陈、张、黄、李}．
师：你能用列举法写出(4)之集合吗？
生：能．只要将全校高一学生名字一一列在大括号内就能做
到，但很麻烦．
师：你能用列举法写出自然数集合吗？
(上述两问为描述法表示集合设下埋伏．)
生：能．即{1，2，3，…}．
师：是否所有的集合，其元素都能无遗漏地一一列举出来呢？
例如(1)、(2)中的集合．
(将集合中所有元素表示出来这个难点给予学生，使学生明白
只有列举法是不够的．)
生：(议论后)很难表示．
师：有一些集合，其元素不能无遗漏地一一列举出来，或不
便于、不需要一一列举出来，这就要根据其属性来确定集合的元素
这样的集合表示法可采用另一方法：把集合中元素的公共属性描
述出来，写在大括号内．这种表示集合的方法叫描述法．此时往
往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，
在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性．如，集合(1)可表为
{x|x是直角三角形}，集合(2)可表为{x|x是到角两边距离相等的
点}．在不致于引起混淆的情况下，用描述法表示集合还可以有简
单的形式．如集合(1)可表示为{直角三角形}，集合(2)可表示为
{到角两边距离相等的点}．
(适当注入也是需要的．)
例2 用描述法表示下列集合．
(1)x－3＞2的所有解．
(2)抛物线 y=x2+1上所有的点．
(3)直角坐标系下第一象限的点．
(通过练习使学生初步掌握描述法表示集合．)
生甲：第(1)题为{x| x－3＞2}．
生乙：第(2)题为{y| y=x2+1}．
生丙：第(3)题为{点|点在第一象限}．
师：第(2)题的表示对吗？抛物线上的点是y值吗？
生：{(x，y)|y= x2+1}．
师：第(3)题用描述法能表示得更清楚吗？
生：{(x，y)| x＞0，y＞0}
师：由上可知，集合的表示有列举法、描述法和图示法．你认
为什么情况下用列举法方便？描述法呢？
生：若元素个数较少或元素有明显的规律性，则采用列举法；
若有些集合不能用列举法，或表示起来不大方便时则用描述法．
(通过这一回答，让学生明白两种方法使用的场合，同时培养
学生的概括能力．)
练习1 下列表示的集合或叙述正确否？为什么？
(1){x| x是美丽的小鸟}．
(2){1，1，2}．
(3){1，2}与{2，1}是同一个集合．
(4){1，2}与{(1，2)}是同一个集合，集合中都有两个元素．
(5){(x，y)| x+y=1}就是{x+y=1}．
生：(1)中对象——“美丽的小鸟”不能构成集合．因集合中
的元素须具有确定性，而美丽的标准是不确定的．
(2) 的表示不正确．因集合中的元素必须是互异的，应写成
{1，2}．
(3)的叙述是正确的，因集合中元素排列是无序的．
(4)是错误的叙述．这两个集合中，集合{1，2}含二个元素，
而集合{(1，2)}中含一个元素．
(5)也是错误的叙述．{(x，y)| x+y=1}是无限集，表示直线
上的许多点，而{x+y=1}表示有限集，只有一个元素．错误在于描
述法的代表元没写．另一个错因在于对描述法的省略形式何时适
用还不清楚．
(通过正反练习，使学生对所学的集合的概念、元素的特征及
用描述法、列举法表示集合的方法更加巩固．)
练习2 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于4的非正的整数．
(2)所有的正偶数．
(3)a－b，a+b，a2+b2．
生：
(1){－3，－2，－1，0}．
(2){2，4，6，8，10，…}．
(3){a－b，a+b，a2+b2}．
(通过上述列举法表示集合的练习，巩固不同类型的列举法的
表示方法，使之明白，不仅有限集可用列举法表示，有规律的无
限集也可用列举法表示．)
练习3 用描述法表示下列集合．
(1)平方等于1的数．
(2)方程x2－3x+2=0的解．
(3)抛物线 y=x2上的点．
生：
(1){x| x2=1}．
(2){x| x2－3x+2=0}．
(3){(x，y)| y=x2}．
(通过此例让学生掌握由描述法表示集合的不同类型：序对集、
点集、数集或有限集、无限集的表示方法．)
师：(小结)本节课学习了一始(原始概念)，二集(有限集、无
限集)，三法(描述法、列举法、图示法)，四性(确定性、互异性、无
序性、任意性)．
作业
1．用列举法表示课本 P4练习的第1，3，4，6题中的集合．
2．用描述法表示课本 P4练习的第 6，7，9题中的集合．
思考题：
1．任何一个集合是否都可用两种方法表示？两种方法各有什
么优缺点？
2．用列举法表示集合{(x，y) |x+y=2，x，y是自然数}．
答案
1．略．
2．{(1，1)}．
课堂教学设计说明
1．本教案需用两课时完成．第一课时以初中学过的数集为导
入，通过对于数集的深入分析和延拓，自然引入了集合的概念．
通过对几个例子的内含揭示集合中元素的几个特性，加深对集合
概念的理解．而集合的表示法则通过比较、分析，分别介绍了列举
法和描述法．描述法较难掌握，先初步介绍，然后在第二课时重
点解决，使学生掌握之．第二课时重点解决用描述法表示集合及
两种方法表示的适用场合，且能灵活运用．另外掌握元素与集合
的关系、符号及常用数集符号．
2．本节课能力培养侧重放在培养分析、比较、归纳的逻辑思维
能力上．
3．这节课集合中元素的有关特性在课本上虽没有直接指出，
但课本中都有举例，教师的作用在于启发学生揭示其实质，并归
纳为“四性”．
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