单元复习提高课教案
教学目标
(1)帮助学生进一步理解集合，空集，子集，全集，补集，交
集，并集的概念，了解属于，包含，相等关系的意义．培养提高
学生应用集合有关知识分析问题，解决问题的能力．
(2)帮助学生进一步正确运用相关的术语，符号和图形，表示
和理解元素和集合，集合和集合之间的关系，并用这些观点去研
究解决问题．
教学重点和难点
重点：有关集合的基本概念，术语和符号．
难点：上述问题的含义，它们之间的区别和联系．
教学过程设计
教师提出例题，先由学生试作，然后教师进行分析，讲述及
小结．
例1：(1)已知集合M={y|y=x2＋1，x∈R}，P={y|y=x＋
1，x∈R}，则M∩P=________
[ ]
A．{(0，1)} B．{0，1，2}
C．{(0，1)，(1，2)} D．{y|y≥1}
[ ]
A．M=P B．M P
C．P M D．M∩P=φ
解：(1)本题中集合的元素是y，它表示函数值的取值范围，
∴M={y|y≥1}，P=R，∴M∩P={y|y≥1}，
应选D．
数，则P={1，3，9}，∴M∩P=φ，
应选D．
教学意图：帮助学生弄清集合的基本概念，术语和符号，并
让学生知道在具体情景下辩认集合所表示的实际意义时，关键是
抓住集合中的元素是什么？它有什么特征？从而确定集合中的元
素的具体内容以及集合与集合之间的关系．
例2：已知集合A={5，a2，1－a}，B={a＋5，2a－1，1－
a2}，若A∩B={5}，求实数a的值．
解：∵A∩B={5}，∴5∈B，
(1)若 a＋5=5，则a=0；
(2)若 2a－1=5，则a=3；
(3)若 1－a2=5，则这样的实数a不存在．
当a=0时，
A={5，0，1}，B={5，－1，1}，这时A∩B={5，1}，与已知
不合．
当a=3时，
A={5，9，－2}，B={8，5，－8}，这时A∩B={5}符合题意，
∴a=3．
教学意图：让学生明白，由A∩B={5}，知5∈B，据此可列方
程求出a；但由5∈B，只能满足{5} A∩B，并不一定能满足
{5}=A∩B，因此对求出的a值还必须进行检验，最后得出结论．
这里向学生介绍了分类讨论的思想方法，这种思维方法很重要，
今后学习中会经常用到．
例3：已知集合S={x|1＜x≤7}，A={x|2≤x＜5}，B={x|3≤x
＜7}．
求：(1)(CSA)∩(CSB)；
(2)CS(A∩B)；
(3)(CSA)∪(CSB)；
(4)CS(A∪B)．
解：利用数轴，画出示意图．
CSA={x|1＜x＜2}∪≤{x|5≤x≤7}，
CSB={x|1＜x＜3}∪{7}，
A∩B={x|3≤x＜5}，
A∪B={x|2≤x＜7}，
∴(1)(CSA)∩(CSB)={x|1＜x＜2}∪{7}，
(2)CS(A∪B)={x|1＜x＜2}∪{7}，
(3)(CSA)∪(CSB)={x|1＜x＜3}∪{x|5≤x≤7}，
(4)CS(A∩B)={x|1＜x＜3}∪{x|5≤x≤7}．
教学意图：提醒学生，在进行集合运算时，充分运用数轴这
一工具是十分有效的手段，再一次体现数形结合的方法．
同学们仔细观察上面四个结果，不难发现：
(CSA)∩(CSB)=CS(A∪B)；(CSA)∪(CSB)=CS(A∩B)．
这一结果，我们在前面已验证过，今天又一次验证，说明这
一结果不是偶然的，具有普遍意义．有兴趣的同学可以进一步去
探讨研究．
例4：已知全集S={不大于20的质数}，集合A、B是 S的两个
子集，且满足下列条件：
(1)A∩(CSB)={3，5}，
(2)B∩(CSA)={7，19}，
(3)(CSA)∩(CSB)={2，17}，求集合A、B．
解：利用图示法
∵S={2，3，5，7，11，13，17，19}，
∴A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}．
教学意图：数形结合，借助图形帮助思考，把抽象问题形象
化，既简单又直观，这是最基本最常见的方法，要熟练掌握，灵
活运用．
例5：若A={x|x2－ax＋a2－19=0}，B={x|x2－5x＋
6=0}，C={x|x2＋2x－8=0}．
(1)若 A∩B=A∪B，求实数a的值．
(2)若φ (A∩B)，A∩C=φ，求实数a的值．
解：(1)∴A A∩B=A∪B B，
B A∩B=A∪B A．
∴A=B．
依题意，A=B={2，3}，C={2，－4}．
由根与系数的关系，a=5，这时a2－19=6，补符合．
∴实数a的值为 5．
(2)由φ (A∩B)，知A∩B≠φ，这说明2∈A或 3∈A，
由A∩C=φ，知2 A，且－4 A．
综合起来，3∈A，2 A，－4 A，
这时，32－3a＋a2－19=0，求得a=5或 a=－2，
当a=5时，A={2，3}，这与2 A矛盾，
当a=－2时，A={3，－5}，符合题意，
∴实数a的值为－2．
教学意图：这是一道在更高层次上帮助学生理解集合的基本
概念，它们之间的区别与联系的综合例题，进一步提高学生分析
和解决问题的能力．
小结：集合概念及其基本理论称为集合论，是现代数学的一
个重要基础知识．集合论及其所反映的思想在越来越广泛的领域
中得到应用，这对同学们进一步的学习有重要作用，使大家能运
用集合的观点去研究和解决问题，希望同学们认真学好掌握这部
分基础知识．
作业
1．认真复习集合的有关知识，自己动手总结，写出心得体会．
2．思考，研究下列习题．
(1)由实数构成的集合A满足条件：
证明：
①若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
② A不可能是单元集合；
③ A中至少有三个不同的元素．
(2)某中学高104班有学生52人，其中参加数学竞赛的有26
人，参加物理竞赛的有34人，设两种竞赛都参加的有x人，求x
的范围．
(3)课本复习参考题一，B组，1．
参考答案
②用反证法证明
假设A={a}，a≠1，
即 a2－a＋1=0，此方程在实数范围内无解．
∴a不存在，即 A不可能是单元素集合．
故 A中至少有三个不同的元素．
(2)在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们
把有限集合A的元素个数记作Card(A)，(参看课本阅读材料，—
—集合的元素个数)
解：设Card(V)=52，Card(A)=26，Card(B)=34，
∵Card(A)＋Card(B)=60，
同时满足上述条件的x为 8≤x≤26．
(3)由已知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有
14人参加球类比赛，15＋8＋14=37，即共有37人次参加比赛．
由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，37－
28=9，知共有9名同学参加两项比赛．
已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的
有3人，因此同时参加田径和球类的有3人．
又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人．
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