等差数列前 n 项和的公式及其应用教案 1
教学目的
(1)使学生掌握求等差数列前n项和的公式及其推导过程；
(2)使学生初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．
教学过程
师：我们已经熟悉了等差数列的通项公式(板书)an=a1＋(n－
1)d(n∈N)及由此推出的性质(板书)a1＋an=a2＋an-1=a3＋an-2=…．
[复习一下旧知识，为下面推导出公式Sn作准备．]
师：今天我们首先研究的问题是，探索已知等差数列的首项a1，
项数n，第n项an，求它的前n项和Sn的计算公式．
为了得出Sn的计算公式，我们先看一个具体例子．
(出示小黑板，并画出下面图形的一半．)
图表示堆放的钢管，共堆放了8层，自上而下各层的钢管数组成等
差数列：
4，5，6，7，8，9，10，11．
求钢管的总数，即求和：
S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11．
师：当然，我们可以用连加法把它算出来，但是，根据等差数列
的性质，同学们能发现更有趣的算法吗？
生：考虑到4＋11=5＋10=6＋9=7＋8=15，共有4个15，所以
S8=4×15=60．
师：对！同学们发现了4＋11=5＋10=6＋9=7＋8这个特点．如果
倒过来写：8＋7=9＋6=10＋5=11＋4，也等于15，这是什么意思呢？这
就相当于在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
(教师边讲边用红颜色粉笔画出上图虚圆．)
这样，每层的钢管数都相等，都为15．用数学式子表示这一过程是：
(板书)
S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11，
S8=11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4，
两式相加，得
2S8=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(8+7)+(9+6)+(10+5)+(11+4)
=8×(4+11)，
师：刚才求和的方法不仅对于项数是偶数的等差数列适用，同时
对于项数是奇数的等差数列也适用．例如，
(教师先擦去图中的底层和最右边的一斜行，再计算出S7．)
师：通过这个具体例子的讨论，再来解决一开始提出的问题：寻
求Sn的计算公式就不难了．请同学们自己推导Sn的计算公式．
生：Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an，
Sn=an＋an-1＋…＋a2＋a1，
两式相加，得
2Sn=(a1＋an)＋(a2＋an-1)＋…＋(an-1＋a2)＋(an＋a1)．
∵a1＋an=a2＋an-1=…，
(Ⅰ)
[这个公式的推导过程，体现了从特殊到一般的认识过程．]
师：如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，由
an=a1＋(n－1)d，就得到等差数列的前n项和的另一个公式：(板书)
(Ⅱ)
师：公式(Ⅰ)是基本的．我们可以发现，它可与梯形面积公式(上
底＋下底)×高÷2相类比．这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第
n项an，高是项数n．我国古代数学家常用这种类比方法，来推出等差
数列的求和公式．
在等差数列的通项公式及前n项和的公式中，共有五个元素，即
a1、d、n、an、Sn．一般说来，只要知道了其中的三个元素，通过解方程或
方程组就可以求出其余两个元素．
[指出这一点，可以理顺应用公式解题的思路，但不要绝对化，否
则，对于下面的例3、例4学生就束手无策了．]
师：下面我们举例说明公式(Ⅰ)和(Ⅱ)的一些应用．(板书例
题．)
[例 1] 口答下列各题：
(1)1＋2＋3＋…＋99＋100=？(答：5050．)
(3)求自然数列中前n个奇数的和．(答：Sn=n2．)
(4)求自然数列中前n个偶数的和．(答：Sn=n(n＋1)．)
[因为(2)、(3)、(4)的结果以后常用，所以应使学生熟练掌握．]
[例 2] (出示小黑板．)
(1)在 a、b之间插入 10个数，使它们同这两个数成等差数列．求
这10个数的和．
(2)求集合M=｛m|m=7n，n∈N，且m＜100｝的元素个数，并求这
些元素的和．
(3)在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，
且最小角为120°．问它是几边形？
[上例中的3个小题贯彻由浅入深的原则，体现等差数列中公式的
实际应用．]
师：第(1)题，设插入的10个数依次为 x1，x2，…，x10，则
a，x1，x2，…，x10，b组成等差数列．
令 S=x1＋x2＋…＋x10怎样算？
师：对的！还有另外的解法吗？
生：有．因为 x1＋x10=a＋b，所以
师：很好！这种解法灵活运用了公式(Ⅰ)．
这个题目，也可以改成：已知一个梯形的两底边的长分别为a与
b，将梯形的一腰 12等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，求这
些直线夹在梯形两腰间线段的长度之和．
第(2)小题的题意是什么？
生：它的题意是：在小于100的自然数中，有多少个数能被 7整
除，并求这些数的和．
师：正确！这是课本上的例题，请同学们自己解答．解完后，请
自行对照课本．
如果将这个题变化为：“在小于100的自然数中，有多少个数既是
4的倍数又是6的倍数，并求这些数的和．”那么，这些数由小到大组
成首项是12，公差也是12(4与 6的最小公倍数)的等差数列，它们共有
8个，其和为432．如果再改为：“在小于100的自然数中，有多少个
数被 4除与被 6除余数都是1，并求这些数的和．”那么，这些数由小
到大组成首项是13(4与 6的最小公倍数12再加1)公差是12的等差数
列．这样的数共有8个，其和为440．
[讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使
学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通、举一反
三的效果．]
师：第(3)小题的解法如下：设这是一个n边形，最大角的度数为
an，则 an=
的答案．)如何具体求出n的值呢？我们知道，凸 n边形的内角和
为(n-2)·180°，
化简得 n2－25n＋144=0．
解得 n=9，n=16．
∵n＜13，∴n=16应舍去．
答：这是一个九边形．
[例 3] 在等差数列｛an｝中，
(1)已知a2＋a5＋a12＋a15=36，求S16；
(2)已知a6=20，求S11．
(教师启发学生解决．)
师：先看第(1)小题．写出S16的计算公式
与已知条件比较，你发现了什么？
生：根据等差数列的性质，有a1＋a16=a2＋a15=a5＋a12=18，所以
S16=8×18=144．
师：对！(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出
a1、a16和d的，但由等差数列的性质可以求出a1与an的和．于是这个问
题就得到了解决．这样一来，公式
(Ⅰ)可写成：
对于第(2)小题，你又发现了什么？
生：因为a1与a11的等差中项是a6，所以
师：正确！这个题与第(1)小题一样，不能直接求出a1、a11和d，
而a6恰好是a1与
a11的等差中项，所以S11就可立即求出来了．反之，如果已知S11
的值，也可以求出a6的值，一般地，若已知an的值，就可以求出S2n-
1(n∈N)的值来，反过来也行．
请同学们应用这两个小题的知识，自拟一个题目作为本节课的一个
练习题．
[自己拟题能巩固和深化所学的知识．]
师：最后，我们再看一个例题：
[例 4] 已知两个等差数列前n项和的比为(4n＋3)∶(2n＋5)，求
它们相应的第8项的比．
这是例3(2)的引伸．
师：(板书)设第一个等差数列的前n项和为Sn，第8项为a8；第
二个等差数列的前n项和为 Qn，第8项为 b8，要求出a8∶b8，怎么办？
如何转化为和的比？
师：完全正确！这个题不仅可以求它们相应的第8项的比，而且
可以求它们相应的任何一项的比．同学们在复习时可以试试看．
建议同学们仿照例4自拟一题作为本节课的又一个练习题．
教案说明
(1)为了使学生易于接受和掌握等差数列前n项和的公式的推导过
程，本教案把课本内容作了两个改变．一是把引入新课时的具体例子由
项数为奇数的等差数列改变为项数为偶数的等差数列；二是利用刚学过
不久的等差数列的性质：a1＋an=a2＋an-1=…直接推导Sn的公式，改变了
课本的推导过程．这样改变，可使等差数列求和公式的推导一气呵成，
便于学生迅速形成有效的认知结构，同时也为正确灵活地运用公式打下
良好的基础．
(2)有关公式应用的教学，是分三个层次来完成的．一是直接代公
式，让学生迅速熟悉公式；二是通过例2的3个小题，说明公式的具体
应用；三是通过例3、例4，训练学生思维能力和灵活运用公式的能力．
(3)这节课的内容不难，因此也容易被人们忽视，使这节课的教学
显得平平淡淡.这份教案试图通过师生共同活动，使学生开始就处于积
极思维的状态，给学生掌握Sn的推导过程并记住公式留下了深刻的印
象．对例题的处理也不是千篇一律，有的让学生口答(例 1)；有的启发
学生解决[例2(1)、(2)]；有的教师分析讲解[例2(3)]；有的让学生
“发现”规律解决(例3、例4)，教师在小结时加以变化和提高，这样有
利于他们思维能力的提高和智力的发展．
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