§2.9.2 函数的应用举例教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.数学建模.
2.有关增长率的数学模型.
（二）能力训练要求
1.继续了解数学建模的方法.
2.能够建立增长率的数学模型.
3.培养学生应用数学的意识.
(三)德育目标：
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.
2.了解数学在生产实际中的应用，并逐步增强分析、解决实际问题的能力.
●教学重点
数学建模的方法
●教学难点
数学建模的意识
●教学方法
启发引导式
启发学生解决数学应用题的前提条件是审清题意，并且认识到提取题目中的数量关系，
也就是做好文字语言与数学语言的转换工作，在提取数量关系时，应排除专业术语等非数
学因素的干扰，在分析、解决转化以后的纯数学问题时，要求学生较为熟练地掌握数学的有
关知识点与基本方法，最后，在纯数学问题解决之后，应注意把数学问题的解向实际问题
的还原.
●教具准备
投影片两张
第一张：例3及其解答（记作§2.9.2 A）
第二张：例4及其解答（记作§2.9.2 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们了解了数学建模的方法和较简单的情形，并总结了解答应用题的
基本步骤，这一节，我们继续学习有关数学建模的方法，加强大家的函数应用意识.
Ⅱ.讲授新课
［例3］按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期利率为r，设本利和为y，存
期为 x，写出本利和 y随存期 x变化的函数式，如果存入本金 1000元，每期利率 2.25%，
试计算5期后的本利和是 多少？
分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，和大家初中所接触的增长率问题
相似.
解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r);
2期后的本利和为y2=a(1+r)3;
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x,将 a=1000(元)，r=2.25%,x=5代入上式得
y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255
由计算器算得y=1117.68(元)
答案：复利函数式为y=a(1+r)x.
5期后的本利和为1117.68元
评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受.
［例 4］某乡镇现在人均一年占有粮食 360千克，如果该乡镇人口平均每年增长
1.2%，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x年后若人均一年占有 y千克粮食，求出函数 y
关于 x的解析式.
分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具
体解答可以仿照例子.
解：设该乡镇现在人口量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1+4%），人口量为 M（1+1.2%）
则人均占有粮食为 %)2.11(
%)41(360
M
M
经过2年后,人均占有粮食为 2
2
%)2.11(
%)41(360
M
M
……
经过x年后，人均占有粮食
y= x
x
M
M
%)2.11(
%)41(360
,
即所求函数式为：y=360( 012.1
04.1 )x
评述：例 4是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为 N，平均增长
率为 R，则对于时间x的总产值 y可以用下面的公式，即 y=N(1+P)x
解决平均增长率的问题，常用这个函数式.
Ⅲ.课堂练习
课本 P92练习
3.一种产品的年产量是 a件，在今后的 m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加
P%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
解：设年产量经过x年增加到y件，则 y=a(1+P%)x(x∈N *且x≤m)
4.一种产品的成本原来是 a元，在今后 m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低 P
%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.
解：设成本经过x年降低到y元，则 y=a(1-P%)x(x∈N *且x≤m)
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要掌握有关增长率的数学模型，如产量、产值、粮食、人口等
增长问题就常用增长率的数学模型.
Ⅴ.课后作业
（一）课本 P93习题2.9
3.一个圆柱形容器的底部直径是 d cm，高是 h cm,现在以 v cm3/s的速度向容器内注
入某种溶液，求容器内溶液的高度 x(cm)与注入溶液的时间 t(s)之间的函数关系式，并写
出函数的定义域与值域.
解：高度 x(cm)与时间 t(s)之间的函数关系是x= td
v
2
4
它的定义域是［0， v
hd
4
2 ］,值域是［0，h］
4.某人开汽车以 60 km/h的速度从 A地到 150 km远处的B地，在 B地停留 1 h后，再
以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开 A地的路程x(km)表示为时间 t(h)（从 A地出发时
开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速 v km/h 表示为时间 t(h)的函数，并画出函
数的图象.
解：汽车离开 A地的距离与时间 t(h)之间的关系：
x=
[3,5,6.5] )5.3(50150
[2,5,3.5) 150
[0,2.5) 60
tt
t
tt
它的图象如下图：
车速v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式：
v=
[3,5,6.5) 50
[2,5,3.5] 0
[0,2.5] 60
t
t
t
它的图象如下图：
（二）1.预习内容：课本 P91例3
2.预习提纲：
（1）例3中的数学模型是什么？
（2）例3解决的是一个什么数学问题？
●板书设计
§2.9.2 函数应用举例
例3 例 4
课时小结 学生练习
解答 解答
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