利用函数的性质比较两数值
教学目标
1．使学生掌握比较两幂值、两对数值大小的常用方法；
2．进一步熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质；
3．培养学生构造函数的思想和数形结合的思想．
教学重点与难点
教学重点是恰当地构造函数，使两数值比大小的问题转化为同类函数的两
函数值比大小的问题．
教学难点是底与真数都不同的两数值的比大小的问题．
教学过程设计
一、引入
与0.50.2哪个大？如何比较呢？
这两个数该如何比大小呢？
师：讲得不错．请再继续比较0.30.2与0.50.2的大小．
师：说得非常好．这位同学把两数值比大小的问题转化为同一函数的两函
数值比大小的问题，在认识上有了一个飞跃，这正是我们今天要研究的课题．
二、复习幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质．
请看图表（用投影片较好）．
y=xα（α为常数）是幂函数．它在第一象限内的情况分为α＞1，0＜α＜
1；α＜0三种情况，其中α＞0时，y=xα，在（0，+∞）内为增函数；α＜0
时，y=xα，在（0，+∞）内为减函数．
y=ax（a＞0，a≠1）是指数函数，a＞1时，y=ax为增函数；0＜a＜1时，
y=ax为减函数．y=ax经过（0，1）点，说明ax容易与1比大小．
y=logax（a＞0，a≠1）是对数函数．y=logax在 a＞1时是增函数；在0＜a
＜1时是减函数．
y=logax与 y=ax互为反函数，互为反函数的两函数具有相同的单调性．
同是对数曲线，由于各自所处的位置不同，底的大小也不同，如图4．
这4条曲线的底分别为a，b，c，d．请判断a，b，c，d与1的大小关系，
并说明理由．
生：b，a＞1，而c，d＜1，但a与b谁大，c与d谁大，判断起来有困难．
师：我们用y=1这条直线去截每一条对数曲线，得到A，B，C，D4个交点，
由这4个交点的前后位置可知c＜d＜1＜b＜a．这是为什么？
生：（思考1分钟）由logax=1，可知x=a，因此A，B，C，D各点的横坐标
应分别为对应的对数曲线的底，由A，B，C，D四点的前后顺序可知它们对应的
底的大小．
师：回答很好．这位同学用数形结合的方法，解决了同类函数的底的比大
小问题，这对底不同的两对数值比大小很有益处．
三、举例
例 1 比较下列各题中两个数值的大小．
（1）0.20.3与0.40.3；
（2）0.40.3与0.40.2；
（3）0.20.3与0.40.2；
老师给出题目后，让学生先作准备，然后先由学生说答案和理由，再由老
师讲解并板书．
解 （1）0.40.3与0.20.3这两个幂值的底不同，但指数相同，可以看作是
y=x0.3的两个函数值．
因为y=x0.3在（0，+∞）内是增函数，又因为0.2＜0.4，所以
0.20.3＜0.40.3．
（2）0.40.3与0.40.2这两个幂值的底相同，但指数不同，可以看作是
y=0.4x的两个函数值．
因为y=0.4x在（-∞，+∞）内是减函数，又因0.3＞0.2，所以
0.40.3＜0.40.2．
（3）这两个数值是两个底不同、指数也不同的幂值，不能直接构造函数．
请同学们再考虑一下怎么办？
生：这两个数值中，一个是第（1）小题的第一个数，一个是第（2）小题
中的第二个数，而这两个小题的另一个数又相同，由此可以得到结论．
因为0.20.3＜0.40.3，0.40.3＜0.40.2，所以
0.20.3＜0.40.2
师：这位同学讲得很好．当两个幂值的底与指数不同时，我们要设法找一
个中间值，让它起桥梁作用．你们看一看这个中间值应如何找呢？
生：从此题看出中间值可以取一个幂值的底为底，另一个幂值的指数为指
数，如ab与cd的中间值可以考虑ad或者 cb．
师：请大家考虑，这个同学的猜想的理论根据是什么？
生：ad与ab同底，可以看作是y=ax的两函数值，由指数函数的单调性决定
ad与ab之间的大小关系；ad与cd同指数，可以看作y=xd的两个函数值，由幂函
数的单调性决定 ad与cd的大小关系．
师：如果 ad居于cd和ab中间，就可以断定 ab与cd的大小关系．
师：同学们请考虑这两个幂值还可取其它中间值吗？
师：对．中间值必须具备两条特征，即
师：请大家都用1作中间值比一下大小．由于幂函数图象都过（1，1）点，
指数函数图象都过（0，1）点，所以幂值非常容易与1比大小，因此，1为两幂
值比大小的首选中间值．
另外从 A点高于（0，1）点，B点低于（0，1）点，也很容易得出大小关系．
这就是我们常说的用图象法比大小的意义．
请同学们试着小结一下两幂值比大小的方法．（要板书）
（1）同指数的两幂值比大小时，利用幂函数的单调性可以直接比大小，
（2）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可以直接比大小；
（3）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比大小，也可以
利用图象的位置关系来比大小．
例 2 比较下列各题中两个对数值的大小．
（1）log0.20.5与 log0.20.3；
（2）log23与 log1.53；
（3）log59与log68；
师：请同学们先做第（1）小题．
生：我们把log0.20.5与 log0.20.3看作是函数y=log0.2x的两个函数值．
解 因为y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，又因0.5＞0.3，所以
log0.20.5＜log0.20.3．
师：第（1）小题解得不错．这是一道直接利用对数函数性质比大小的题目，
我们只要恰当地构造函数，便可解决．请大家研究一下第（2）小题的大小关系．
生：本题的两对数值不同底，是否可以考虑换底呢？
所以
log23＜log1.53．
师：该生的解答很准确．特别是他的不等式变换技巧掌握较好，即 a
此题还可以用函数图象来解决大小问题．
解 画出y=log1.5x和 y=log2x的图象（如图 6）．
x＞1以后，y=log1.5x的图象在y=log2x的图象的上方．当x=3时，A点高于
B点，因为A点纵标=log1.53，B点纵标=log23，所以log23＜log1.53．
请看第（3）小题．这两个对数值的底和真数都不同，不可直接利用对数的
增减性，也不好利用同类函数图象的位置高低比大小，应如何解决这一矛盾呢？
生：我们可以考虑中间值．
因为log59与log58是同底两对数，由增减性得：log59＞log58．
又因log68与log58是同真数两对数，由图象的位置高低得：log68＜
log58．所以
log59＞log68．
（此解法学生若说得不完善时，教师要及时给予补充说明．）
师：我们用函数图象来解释一下第（3）小题．
如图 7，A点纵坐标为log58，B点纵坐标为log68，C点纵坐标为log59．
C点与A点在同一单调函数图象上，可比出高低，A与B在同一条直线上，
也能比出高低，即 C点高于A点，A点高于B点，所以，C点高于B点，即 log59
＞log68．这个图给中间值一个几何解释．
第（4）小题由同学独立完成．其结果为：
对数函数图象都过（1，0）点，函数值很容易与0比大小，所以0为对数
值比大小的首选中间值．
请同学们小结两对数比大小的常用方法．
（1）同底两对数值利用对数函数的单调性直接比大小；
（2）同真数的两对数，可以用换元法转化为同底两对数比大小，也可以用
同类函数图象的高低比大小；
（3）底与真数都不同的两对数值，可以借用中间值比大小，也可以通过图
象比大小．
下研究．）
上函数值大于1知
上函数值大于1知
四、总结
比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能
够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调
性来比较大小，这种思想是构造函数的思想；有时我们把两数值看作两个函数
后，又在相应的图象上描出函数值的对应点，再由图象的位置关系决定对应点
的纵坐标（即函数值）的大小，这种思想是数形结合的思想．由以上可知熟悉
函数的性质及图象是十分重要的．
比较两数值的大小常用的方法有：
1．直接利用函数的单调性比大小，如例1的（1）、（2），例2的（1）．
2．直接利用两函数图象的位置关系的大小，如例1的（4），例2的
（2）、（3）．
3．借用中间值间接比大小，如例1的（3）、（4），例2的（3）、（4）；
另外还有一些方法，如求差比较法，求商比较法等等都是一些常用方法，以后
会学到．
幂值、对数值都是实数，是实数都可以比大小，但由于我们正处在学习的初
级阶段，有不少幂值、对数值的大小比较问题我们还不易做出判断，随着学习的
深入，这些问题可以逐步得到解决．
五、作业
比较下列各对数值的大小：
（7）log0.45与 log0.47； （8）log50.9与log0.50.5；
（9）log78与log87； （10）log58与log68．
课堂教学设计说明
1 由于函数的思想、数形结合的思想是贯穿整个高中数学教学的重要思想，
所以应抓住两数值比大小这个时机，把教材稍微扩展一下，使学生在掌握两幂
值、两对数值比大小的同时，既熟悉了刚学完的三个基本函数，又培养了构造函
数的思想和数形结合的思想．
2 本节课的教学形式是采用了题组式教学的形式，每组题的设计除了由浅
入深外，还力求题目之间有相互启发的作用，两组题之间有类比的功效．另外
留有一道思考题，供大家思考，以培养学生分类讨论的意识．
3 本节的引子是为了突出课题的重要性，安排函数图象与性质的复习，目
的是为了使课题得以顺利进行．每组题后安排小结，为了引导学生完成从特殊
到一般的过程．最后安排总结，使学生从方法上、从思想上得以提高．
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