4.3.1 函数单调的概念
我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此
我们再次回顾一下函数单调的定义。
定义 设函数 f(x)在区间（ a， b）上有定义，如果对于区
间（ a， b）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足
（ 1）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) < f(x2)） ,则
称函数 f(x)在开区间（ a， b）内单调增（或严格单调增）；
（ 2）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)） ,则
称函数 f(x)在开区间（ a， b）内单调减（或严格单调减）；
一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐上升的
曲线。单调减函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线。
如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一
些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。
4.2.2 单调与导数的关系
在本段中，我们将考虑函数的单调性与导数符号之间的关系，利用
这种关系，就可以应用导数的符号来研究函数的单调性。
定理 1 设函数 f(x)在闭区间 [a， b]上连续，在开区间
（ a， b）内可导，则函数 f(x)在区间 [a， b]上单调增加（或单
调减少）的充分必要条件是 f (x) 0（或 f (x) 0 ）；
证明：必要性。设函数 f(x)在区间 [a， b]上单调增加，在区间
（ a， b）内任取两点 x, x+x，有
（ 1）当 x 0时，则 x < x+x，从而 f(x+x)
f(x)， 于是 f(x+x) - f(x) 0；
（ 2）当 x < 0时，则 x x+x，从而 f(x+x) f(x)，
于是 f(x+x) - f(x) 0；
综合（ 1）、（ 2）即知，对任意的 x，恒有
从而有
充分性。设函数 f(x)在 开区间（ a， b）内可导，且 f (x)
0，则对于开区间（ a， b）内的任意两点 x1 ， x2 ，且设 x1
< x2 ，由拉格朗日中值定理可知，有
由于 f () 0，因此， f( x2) f( x1)。即 f(x)为单调增加。
对于单调减少的情况类似可以证明。
利用拉格朗日中值定理还可以证明
定理 2 设函数 f(x)在闭区间 [a， b]上连续，在开区间
（ a， b）内可导，且 f (x) 0 （或 f (x) < 0），则函数
f(x)在区间 [a， b] 内严格单调增加（或严格单调减少）。
.0)()(
x
xfxxf
.0)()()(lim '
0
xfx
xfxxf
x
))(()()( 12'12 xxfxfxf
定理 3 设函数 f(x)在闭区间 [a， b]上连续，在开区
间（ a， b）内可导，且 f (x) 0（或 f (x) 0），
同时 f (x)至多存在有限个零点， 则函数 f(x)在区间
[a， b] 内仍为严格单调增加（或严格单调减少）。
有了这些结果以后，我们就可以利用导数的性质来判断函
数的性质，这可以说是导数的一个重要应用。它通常包含
三个典型的问题：
（ 1）、求函数的单调区间；
（ 2）、证明不等式，通常是两项不等式；
（ 3）、证明方程只有一个实根。
4.2.3 实 例 分 析
例 1 确定函数
的单调区间。
解：该函数的定义域为（ - ，），由于
当 x （ -， 1）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个
区间内为严格单调增加。
当 x （ 1， 2）时，有 f (x) < 0，所以，函数 f(x)在该区间
内为严格单调减少。
当 x （ 2，）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个区
间内为严格单调增加。
函数的单调增区间和单调减区间统称为函数的单调区间。显然，
x=1 和 x=2是函数 f(x)单调区间的分界点，且有 f (x) =0。
31292)( 23 xxxxf
)2)(1(6312186)( 2' xxxxxf
例 2 证明
。
证明：令
则
从而，当 x（ 0， ）时，函数 f(x)为严格单调增加。又由于
f(0) = 0，所以， f(x) f(0)=0，即不等式成立。
例 3 证明方程 sin x = x 只有一个实根。
证明：令 ，则
且仅在孤立点 x =2n时，有 f (x)=0。从而，当 x（ -， ）时
，函数 f(x)为严格单调减少。又由于在 x - 时 , f(x) +;
而在 x+ 时 , f(x) -。 因此，函数 f(x) 有且仅有一个零点。
即证明了方程 sin x = x 只有一个实根。它就是 x=0。
)0(1)1ln(1 22 xxxxx
22 1)1ln(1)( xxxxxf
)0(,0)1ln()( 2' xxxxf
xxxf sin)( 01cos)(' xxf
/3
