渭南铁路自立中学
范静
二 00七年九月
函数的单调性
！请同学们！
观察下面的函数图像
12)( xxf
2x1x
y
x
)( 1xf
)( 2xf
12)( xxf
y
xo
2x1x
)( 1xf
)( 2xf
xxf
1)(
2x1x
)( 1xf )( 2xf
2)( xxf
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
5
4
3
2
1
3)( xxf
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
5
4
3
2
1
:)( Ixf 的定义域为一般的，函数
上是增函数。区间
在这个，那么就说时，都有当
值上的任意两个自变量的内某个区间如果对于属于定义域
)()()(,, 212121 xfxfxfxxxx
I
)(xfy
1x 2x
)( 1xfy
)( 2xfy
上是减函数。区间
在这个，那么就说时，都有当
值上的任意两个自变量的内某个区间如果对于属于定义域
)()()(,, 212121 xfxfxfxxxx
I
)(xfy
1x 2x
)( 1xfy )( 2xfy
xxf
1)(
1x
2x)( 1xf
)( 2xf
xxfxfxfxx
1)()()(, 2121 是增函数吗？
上也是减函数吗？），在（
那么）上分别都是减函数。，）和（，在（
),0(0
001)(
xxf
一
个
重
要
的
反
例
例题讲解
是增函数还是减函数。区间上，
一单调的单调区间，以及在每根据图象说出
的图象，上的函数，如图是定义在闭区间
)(
)(
)(55
xfy
xfy
xfy
例 1.
)(xfy
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
2
1
-1
-2
上是增函数。
上是减函数，在区间
在区间中
其
的单调区间有函数
5,3,1,2
3,1
,2,5)(
,5,3,3,1,1,2,2,5
)(
xfy
xfy解：
！函数单调性的证明！
2121, xxRxx 上的任意两个实数，且是设
例
2.
的图像并证明其单调性画出函数 23)( xxf
)23()23()()( 2121 xxxfxf
)(3 21 xx
0, 2121 xxxx 得由
0)()( 21 xfxf于是
)()( 21 xfxf 即
上是减函数。在所以， Rxxf 23)(
证明：
23)( xxf
5
43
2
1
1 2 3 4 5
取值 — 作差变形 — 定
号 — 判断
在所要证明的区间上任取 x1<x2, 并且排序 x1<x2.
确定差的符号。
判断。根据定义作出结论
。
证明函数单调性的
步骤：
作差 变形，通过因式分
解、配方、有理化等方法判断差的符号。
)()( 21 xfxf
例 3. 上是减函数。在证明函数 ),0(1)( xxf
证明： 2121 ,,0, xxxx 且上的任意两个实数是设
21
21
11)()( xxxfxf 21
12
xx
xx
.0),,0(, 2121 xxxx 得由
0, 1221 xxxx 得又由
)()( 21 xfxf 即
0)()( 21 xfxf于是
）上是减函数。，在（所以， 01)( xxf
课堂练习
1.如图，已知函数 的图象（包括
端点），说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上
还是减函数。
)(xfy 根据图象
函数是增函数
-3 -2 -1 1 2 3 4
2
1
2. 下面是两种容器的侧面图 , 分别向这两种容器中以相同的速度注水 ,
下面的图像中哪个可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系 :
(一 ) (二 )
水高
时间
水高
时间
水高
时间0 0 0
水高
时间0
水高
时间0
水高
时间0
(
对
于
图
一)
(
对
于
图
二 )
课堂小结
本节课我们主要学习了函数的一个重要性质——单调性
。
它是函数在定义域内某一个区间上特有的性质。对于 有： 21, xx
是减函数)()()( 2121 xfxfxfxx
是增函数)()()( 2121 xfxfxfxx
我们还学习了函数单调性的证明，它的证明分以下几步
：
取值 — 作差变形 — 定
号 — 判断
在所要证明的区间上任取 x1<x2, 并且排序 x1<x2.
判断。根据定义作出结论
。
作差 变形，通过因式分解、配方、有理化
等方法判断差的符号。
)()( 21 xfxf
确定差的符号。
作
业
P39 3 4 5
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