0 0 类别 : 试卷

北京市朝阳区 2002年初中升学统一考试 数学试卷 第 I卷（选择题 68分） 一、下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的（本题共 68分，每小题 4分） 1、用科学记数法表示 0.00608的结果是 （A）6.08×10-3 （B）6.08×10-4 （C）0.608×10-3 （D）0.608×10-2 2、下列计算正确的是 （A）2x3·3x2=6x6 （B）x3+x3=x6 （C）x10÷x5=x2 （D）x4÷x5y= xy 1 3、化简 132 1  的结果为 （A）2 3 +1 （B）2 3 -1 （C） 11 132  （D） 11 132  4、函数 y= 2 3   x x 的自变量 x的取值范围是 （A）x≠2 （B）x>2 （C）x≥2 （D）x>2且 x≠3 5、正 n边形的一个内角为 120º，那么 n为 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 6、顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是 （A）1∶4 （B）1∶3 （C）1∶2 （D）1∶ 2 7、下列各式从左到右变形正确的是 （A） 32 1 yx  =3(x+1)+2y （B） dc ba dc ba 54 32 05.04.0 03.02.0    （C） bc ab cb ba    （D） dc ba dc ba    22 8、在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，sinA+cosB的值等于 （A） 4 1 （B）1 （C） 2 21 （D） 2 31 9、从 2002年 5月 29日开始的一周内，北京某地区每天的最高气温依次是（单位：℃）： 30 31 34 33 32 31 33 那么这 7个数据的平均数和中位数分别是 （A）32和 32 （B）32和 33 （C）33和 32 （D）33和 33 10、用换元法解方程 32 1 2 x -8x 2+12=0，下列换元过程中，原方形变形不正确的是 （A）设 32 1 2 x =y，则 y- y 4 =0 （B）2x2-3=y，则 y 1 -4y=0 （C）8x2-12=y，则 y 4 -y=0 （D）设 32 1 2 x =y，则 y- y4 1 =0 11、已知两圆的半径分别为 3和 5，圆心距为 4，则两圆公切线的条数是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 12、已知：如图，⊙O半径为 5，PC切⊙O于点 C，PO交⊙O于点A，PA=4，那 么 PC的长等于 （A）6 （B）2 5 （C）2 10 （D）2 14 13、如果圆锥的侧面积为 20cm2，经的母线长为 5cm，那么此圆锥的底面半径的 长等于 1 （A）2cm （B）2 2 cm （C）4cm （D）8cm 14、在A、I、O、S、W、X、Z这 7个字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 15、用科学计算器算得① 293=24389；② 58≈7.615773106；③ sin35º≈0.573576436；④若 tan≈5，则锐角 ≈0.087488663º。其中正确的是 （A）①②③ （B）①②④ （C）②③④ （D）①③④ 16、平行四边形 ABCD的对角线的交点在坐标原点，且 AD平行于 x轴，若A点坐标为（-1，2），则 C点的坐 标为 （A）（1，-2） （B）（2，-1） （C）（1，-3） （D）（2，-3） 17、甲乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩分别用实线和虚线连结，如图所示，下 面的结论错误的是 （A）乙的第二次成绩与第五次成绩相同 （B）第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同 （C）第四次测试甲的成绩比乙的成绩多 2分 （D）五次测试甲的成绩都比乙的成绩高 第 II卷（解答题 82分） 二、（本题共 22分，第 18、19题各 7分，第 20题 8分） 18、分解因式：m3-2m2-4m+8 19、解不等式组      .3 211 ),1(2)3(410 xx xx 20、计算： x x x x x x 2 1 2 1 1 2 2    三、（本题 10分） 21、已知：如图，在正方形 ABCD中，E是 CB延长线上一点，EB= 2 1 BC，如果 F是 AB的中点，请你在正方形 ABCD上找一点，与 F点连结成线段，并证明它和 AE相 等。 解：连结________，则_________=AE. 2 四、列方程或方程组解应用题（本题 10分） 22、某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装 150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装 3台， 这样提前 3天超额完成了任务，总共比原计划多组装 6台，问原计划每天组装多少台？ 五、（本题 12分） 23、已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点 E、F分别在AB、AC上，EF//BC，平行移动 EF，如果梯形 EBCF有内切圆， 当 2 1AB AE 时，sinB= 3 22 ； 当 3 1AB AE 时，sinB= 2 3 （提示： 2 3 = 4 32 ）； 当 4 1AB AE 时，sinB= 5 4 . （1）请你根据以上所反映的规律，填空：当 5 1AB AE 时，sinB的值等于_______________； （2）当 nAB AE 1 时（n是大于 1的自然数），请用含 n的代数式表示 sinB=__________，并画出图形、写出已知、 求证和证明过程。 六、（本题 14分） 24、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点 E、F分别在 AB、AC的延长线上，EF交⊙O于点M、N，交AD于点H，H是OD的中点， DNMD  ， EH-HF=2，设∠ ACB=， tan= 4 3 ， EH 和 HF 是方程 x2- (k+2)x+4k=0的两个实数根。 （1）求 EH和HF的长； （2）求 BC的长。 七、（本题 14分） 25、已知：以直线 x=1为对称轴的抛物线与 x轴交于A、B两点（点A在点 B的左边），且经过点（4， 4 5 ）和 （0，- 4 3 ）。点 P（x, y）在抛物线的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），在 x轴上有一点 C使△OPC是 等腰三角形，OP=PC。 （1）若∠OPC是直角，求点 P的坐标； （2）当点 P移动时，过点 C作 x轴的垂线，交直线 AM于点Q，设△AQC的面积为 S，求 S关于 x的函数解析 式和自变量 x的取值范围，并画出它的图象。 北京市朝阳区 2002年初中升学统一考试 数学试卷答案及评分标准 第 I卷（选择题 68分） 一、选择题：（本题共 68分，每小题 4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D D B B C C B A 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 D C D C B A A D 3 第 II卷（解答题 82分） 二、（本题共 22分，第 18、19题各 7分，第 20题 8分） 18、解：m3-2m2-4m+8 =m2(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m2-4) =(m-2)(m-2)(m+2) =(m+2)(m-2)2 19、解：解 10-4(x-3)≥2(x-1)，得 x≤4. 解 x-1> 3 21 x ，得 x> 5 4 . ∴不等式组的解集为 5 4 <x≤4. 20、解： 1 1 )1)(1( 1 )1)(1( 1 )1)(1()1)(1( 1 )1)(1( )1( )1)(1( 1 11 1 21 2 1 1 2 1 2 1 1 22 22 2 2 2 2 2 2 2                    x xx x xx xxx xx xx xx x xx xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、（本题 10分） 21、解：CF，CF. 证明：在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABC=∠ABE=90º ∵F是AB的中点， ∴FB= 2 1 AB ∵EB= 2 1 BC， ∴EB=FB 在△ABE和△CBF中， 4       , , , FBEB CBFABE CBAB ∴△ABE≌△CBF ∴AE=CF 注：连结 FD可参照给分 四、（本题 10分） 22、解：设原计划每天组装 x台。 依题意，得 .33 6150150   xx 整理，得 x2+5x-150=0. 解此方程，得 x=10或 x=-15. 经检验，x=10或 x=-15都是原方程的根， 但 x=-15不合题意，舍去。 ∴x=10。 答：原计划每天组装 10台。 五、（本题 12分） 23、（1） 3 5 （2） 1 2 n n 图形、已知、求证和证明过程如下： 已知：在△ABC中，AB=AC，EF//BC，⊙O内切于梯形 EBCF，点D、N、G、M为切点， nAB AE 1 （n是大于 1的自然数） 求证：sinB= 1 2 n n . 证法一： 连结AO并延长与 BC相交 ∵⊙O内切于梯形 EBCF，AB、AC是⊙O的切线， ∴∠BAO=∠CAO。 ∵EF//BC，AB=AC， ∴AE=AF。 又M、N为切点， ∴OM⊥EF，ON⊥BC， ∴AO⊥EF于M，AO⊥BC于N。 ∵EF//BC，∴EM//BN。 ∴△AEM∽△ABN。 ∴ nAB AE BN EM 1 。 设 EM=k，则 BN=nk. 作 EH//MN交 BC于H，则HN=EM=k。 ∵D、N、M为切点， ∴BD=BN=nk，ED=EM=k。 在△EHB中，∠EHB=∠MNB=90º， 5 BE=BD+DE=(n+1)k, BH=BN-HN=(n-1)k, 由勾股定理得 EH=2 n ·k ∴sinB= 1 2 )1( 2   n n kn kn BE EH . 证法二： 接证法一中，∵EF//BC，∴EM//BN ∴ nAB AE AN AM 1 . 设AM=k，则AN=nk，MN=(n-1)k. 连结OD，∵D为切点，∴OD⊥AB ∴OM=OD= 2 1 MN= 2 )1( kn  ，OA=AM+MO= 2 )1( kn  在 Rt△AOD中，由勾股定理得AD= n ·k ∵∠B+∠BAN=∠AOD+∠BAN=90º， ∴∠B=∠AOD ∴sinB=sin∠AOD= 1 2 2 )1(   n n kn kn AO AD . 六、（本题 14分） 24、解： （1）依题意，及一元二次方程根与系数关系，得 Δ=[-(k+2)]2-4×4k>0， ① EH+HF=k+2， ② EH·HF=4k>0， ③ 又 EH-HF=2 ④ 由②、③、④得 k=12. 当 k=12时，①成立。 把 k=12代入原方程解得 x1=8，x2=6. ∴EH=8，HF=6。 （2）解法一： 连结 BD，∴∠1=∠ ∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90º ∵ DNMD  ，∴AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90º ∴∠E=∠1=∠ 在 Rt△AEH中，tanE= EH AH =tan= 4 3 ，又 EH=8， ∴AH=6。由勾股定理得AE=10 在 Rt△AHF中，AH=HF=6， 由勾股定理得AF=6 2 在 Rt△ABD中，tan∠1= BD AB =tan= 4 3 ， 设AB=3m，则 BD=4m，由勾股定理得AD=5m 6 ∵H是OD的中点，∴AH= 4 3 AD ∴AD= 3 4 AH= 3 4 ×6=8 ∴5m=8，解得m= 5 8 . ∴AB=3m= 5 24 . ∵∠E=∠，∠BAC=∠FAE， ∴△ABC∽△AFE ∴ AF AB EF BC  ∴BC= 25 28 26 )68(5 24 )(   AF HFEHAB 解法二： 同解法一求出AE=10，AD=8 连结 CD， ∵AH=HF，且AH⊥HF， ∴∠HAF=∠F=45º ∵AD为⊙O直径， ∴∠ACD=90º，∠ADC=45º ∴AC=AD·sin∠ADC=AD·sin45º=4 2 . 以下同解法一求得 BC= 25 28 10 1424 AE EFAC 七、（本题 14分） 25、解法一： （1）设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+n (a≠0) ∵抛物线过点（4， 4 5 ），（0，- 4 3 ） ∴           .1 ,4 1 .4 3 ,4 59 n a na na 解得 ∴ 4 3 2 1 4 11)1(4 1 22  xxxy ∴顶点M的坐标为（1，-1） ∵抛物线与 x轴交于A、B两点（点A在点 B的左边）， 令 y=0， 7 则 4 3 2 1 4 1 2  xx =0 解得 x1=-1，x2=3 ∴点A的坐标为（-1，0），点 B的坐标为（3，0） ∵点 P（x, y）在抛物线的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），∠OPC是直角， ∴x≥1且 x≠3 在△POC中，OP=PC，∠OPC=90º， ①当 1≤x<3时，点 P（x, y）在第四象限内（x>0，y<0），过点 P作 PD⊥x轴于 D点，则点 D的坐标为（x, 0）（如图 1），且 PD=OD PD=|0-y|=-y， OD=|x-0|=x ∴y=-x. ∴-x= 4 3 2 1 4 1 2  xx ∴x2+2x-3=0. 解得 x=1，且 x=-3（舍） ∴y=-x=-1. ∴点 P的坐标为（1，-1） ②当 x>3时，点 P（x, y）在第一象限内（x>0, y>0）， 过点 P作 PE⊥x轴于点 E，则点 E的坐标为（x, 0）（如图 1）， 且OE=PE，PE=|0-y|=y，OE=|x-0|=x， ∴y=x. ∴x= 4 3 2 1 4 1 2  xx ∴x2-6x-3=0. 解得 x=3±2 3 (舍负) ∴y=x=3+2 3 ∴点 P的坐标为（3+2 3，3+2 3） 综合①②，点 P的坐标为（1，-1），或（3+2 3，3+2 3） （2）设过点A（-1，0），M（1，-1）的直线解析式为 y=kx+b (k≠0)， ∴          .2 1 ,2 1 .1 ,0 b k bk bk 解得 ∴直线AM的解析式为 y=- 2 1 x- 2 1 ∵OP=PC，作 PF⊥x轴于 F（如图 2）， 得OC=2OF ∵点 C在 x轴上， ∴点 C的坐标为（2x, 0）(x≥1且 x≠3). ∵CQ⊥x轴于点 C，交直线AM于点Q， 8 ∴点Q的坐标为（2x, -x- 2 1 ） ∴S= 2 1 AC·CQ = 2 1 |2x-(-1)|·|0-(-x- 2 1 )| = 2 1 (2x+1)(x+ 2 1 ) =(x+ 2 1 )2 =x2+x+ 4 1 . ∴自变量 x的取值范围是 x≥1且 x≠3. 图象如图 3. 解法二： （1）接解法一中A（-1，0），B（3，0），∵PO=PC， 点 P（x, y），作 PD⊥x轴于点D，则OC=2OD（如图 1）， ∴点 C的坐标为（2x, 0）. ∵∠OPC=90º， ∴OP2+PC2=OC2 又OP=PC， ∴2OP2=OC2 ∴2(y2+x2)=(2x)2. ∴y2=x2. 又点 P（x, y）在抛物线 y= 4 3 2 1 4 1 2  xx 上， ∴      .4 3 2 1 4 1 , 2 22 xxy xy 解得 9                   .3 ,3 ;1 ,1 ;323 ,323 ;323 ,323 y x y x y x y x ∵点 P在抛物线 y= 4 3 2 1 4 1 2  xx 的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），∠OPC是直角， ∴x≥1且 x≠3. ∴点 P的坐标为（3+2 3，3+2 3），或（1，-1）。 （2）同解法一。 10