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2017年4月27日 2006 届北大附中深圳分校 高三数学模拟试卷三 北大附中深圳南山分校 高三数学组 倪 杰 同 学 们 好 ！ 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择 题 )两部分，共 150分，考试时间 120分钟 . 一、选择题：（本大题共 10小题每小题 5分，共 50分，在 每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 ） 1.若函数 f(x)的反函数 f-1(x)=1+x2(x<0)，则 f (2)的值为 A.1 B.-1 C.1或 -1 D.5 24 , ,025 4       1 5 2.已知 sin2α= , 则 sinα+cosα等于 A. B. C. D.15 7 5 7 5 4.已知数列 {an}的前 n项和为 Sn，且 Sn=2 (an－ 1)， 则 a2等于 A.4 B.2 C.1 D.－ 2 B B A A 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 3. 已知向量 a =(2,3), b =(－ 1， 2)，若 ma+nb与 a－ 2b共线，则 m ： n 等于 A.－ 1： 2 B.2： 1 C. 1： 2 D.－ 2： 1 1. 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布列 为： 　 则 ξ 的数学 期望 Eξ＝ x1p1＋ x2p2＋…＋ xnpn＋… E(aξ＋ b)＝ aEξ＋ b2. 数学期望的性质： 3. 若 ξ ～ B(n ， p) ，则 Eξ＝ np． 分布列的两个性质： ⑴ Pi≥0， i＝ 1， 2，…； ⑵ P1+P2+… =1 ． 4. 方差 : Dξ ＝（ x1-Eξ ） 2p1＋（ x2-Eξ ） 2p2 …＋ ＋（ xn-Eξ ） 2pn …＋ 称为随机变量 ξ 的均方 差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量 ξ 的期望 ． 6. 方差的性质：（ 1 ） D (aξ+b)=a 2 Dξ ； （ 2 ） Dξ=Eξ 2–(Eξ) 2；（ 3 ）若 ξ ～ B (n ， p) ，则 Dξ=np(1-p) 5. 标准差 :Dξ 的算术平方根 叫做随机变量 ξ 的 标准差，记作 σξ ． D 复 习 回 顾 5.已知随机变量 ξ的分布列为下表所示 ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 x 则 ξ的标准差为 3.56 3.2A.3.56 B. C.3.2 D.1 y6.若实数 x， y满足 |x-1|-ln =0，则 y关于 x的函数的图象形状大致是 7.已知两点 M(-5， 0)和 N(5， 0),若直线上存在点 P 使 |PM|-|PN|=6 “则称该直线为 B ”型直线 , 给出下列直 线 , y=x+1① ，② y=2, y= , y=2x+1③ ④ , “其中为 B型直 ”线 的是 A. B. C. D.①③ ③④ ①② ①④ 4 3 x B B C xM NA1 A2 B1 B2y P 3  6 4 8.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已 知 AB=1， D在 BB1上，且 BD=1，若 AD 与侧面 AA1CC1所成的角为 α，则 α的值 为 A. B. C.arctan D.arcsin4  10 4 9.已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，且是周期为 2的 周期函 数，当 x [0.1)∈ 时， f(x)=2x-1,则 f(log 0.56)的值为 A. － 2,5 B. － 5 C. － 0.5 D. － 6 D C x [∈ － 1. 0)时 , f(x)=1 － 2 － x, 而－ 1<2+log26 － 1<0, 在 Rt△ABD中， 2 2AD AB +BD 2  ， E 2 2 5AE AF +EF 2  ，在 Rt△AEF中， F 在 Rt△ADE中， 2 2 3 DE 6DE AD -AE sin .2 AD 4  ，= f(log 0.56)=f(2+log26 － 1)=1－ 0.25×6=0.5 P(x0,y0) x y OF1 F2 Q 延长 PF2与 F1M相交于 Q， M 2 2 116 8 x y  1FM MP uuuur uuur OMuuuur 2 10.已知点 P是椭圆 (x≠0， y≠0)上的动点 ， F1、 F2为椭圆的两个焦点， O是坐标原点，若 M是 ∠ F1PF2的角平分线上一点 , 且 =0, 则 | |的 取值范围是 A.[0.3) B.(0， 2 ) C.[2 ， 3) D.[0， 4] 2 B d1 d2 焦半径 |PF1|=e×d1 2 0 0( )ae x a exc     同理焦半径 |PF2|=a－ ex0 |QF2|= |PF1|—|PF2|=2ex0= 0 0 02 22 2 ,( 4 4)4 x x x     2 0 1 2| 0 | | | 2 2 | 0 | 0.2 2M QF x M    uuur uuur ，且 则 |OM|=0.5 |F2Q|=0.5 | (|PF1|-|PF2|) 第Ⅱ卷（非选择题 共 100分） 二．填空题：（本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分） 11.一个正三棱柱恰好有一个内 切球 (球与三棱柱的两个底面 和三个侧面都相切 )和一个外 接球 (球经过三棱柱的 6个项 点 )，则此内切球、外接球与 正三棱柱的表面积之比为2π： 10π： 9 3 设正三棱柱的侧棱为 2a,，则内切球的半径 r=a，内切 球的 表面积为 4πa2; 2 233 2 3a 2a+2 2 3a4 18 3a    其表面积为（） ； 三棱柱的底面的正三角形的边长为2 3a, 220 a .5a, 4 5a 其表面积为（）外接球的半径 R= R a 2a 12.已知△ ABC的三个内角 A、 B、 C所对的边分别 为 a、 b、 c，若△ ABC的面积为 S=a2-(b-c)2，则 tan = 2 A 2 12sin cos 4 2sin , tan .2 2 2 2 4 A A A A  故 2 2 2 sin 4 4 4 4cos 4(1 cos )2 b c aA A Abc         1 4_____ n(3 )x 2 3 2006 2 3 2006 2006 3 3 3 2005 a a a       L 13.设 an (n=2， 3， 4,…) 是 的展开式中 x的一 次项的 系数 , 则 an=__________, 的值是 ____. 18n-21 n(n 1)32  展开式中 x的一次项的系数为 Cn23n-2 k k k k 2 3 2 3 18 1 118( ),a k(k-1) 3 k(k-1) k-1 k    因为 2 3 2006 2 3 2006 3 3 3 1 1 1 1 1 118[ 1 ]=18[1- ].2 2 3 2005 2006 2006a a a      L L（-）（）+ + （） 由 S=a2-(b-c)2 ，得 bcsinA=-(b2+c2-a2)+2bc, 1 21 2    1 21 [ ]2 f x f x 14.设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任意的 x1 D∈ , 存在唯一的 x2 D∈ ，使 =C(C为常数 )成 立，则称函数 f(x)在 D上均值为 C，下列五个函数： ① y=4sinx； ②y=x3；③ y=lgx；④ y=2x；⑤ y=2x-1.则满足在其定 义域上均值为 2的的所有函数的序号是 ___________.② 、③、⑤ ①y=4sinx x y O ②y=x3 x y O ⑤y=2x-1 x y O④y=2x x y O 1 ③y=lgx x y O 1 三、解答题：（共 6小题，共 80分） 2cos 1 cos cos 2cos x,OPOQ OP OQ x      uuur uuur uuur uuur所以（） 2 ·2coscos 1 cos· OPOQ x xOP OQ    uuur uuur uuur uuur 2 2cos 2(2)f (x) .11 cos cos cos x x x x    min 2 2f (x) .3 [ , ]4 4   OP OQuuur uuur和 15.(本小题满分 13分 ) 平面直角坐标系内有点 P(1， cosx)、 Q(cosx， 1),x∈ (1) 求向量 的夹角 θ的余弦值； (2)令 f(x)=cosθ, 求 f(x)的最小值 . 1 3 22 cos ,cos 2x x    (1) 1 cos x (cos ,1),OP OQ x    uuur uuur解：因为 我爱北京天安 门2 1cos ,1 ,cos2 cosx x x      时单调递减. 16.(本小题满分 13分 )某公园有甲、乙两个相邻景点 ，原拟定甲景点内有 2个 A班的同学和 2个 B班的同 学；乙景点内 2个 A班同学和 3个 B班同学，后由于 某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光 .(1) 求甲景点恰有 2个 A班同学的概率； (2)求甲景点 A 班同学数 ξ的分布列及期望 .解： (1)甲乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰 有 2个 A班同学有下面两种情况： P(A1)= 1 1 2 2 1 1 4 5 · 1 ·5 C C C C  ② 互换的是 B班同学，则此时甲景点恰有 2个 A班同学的 事件记为 A2，则 P(A2)= 1 1 2 3 1 1 4 5 · 3 ·10 C C C C  1 .2故 P=P(A1)+P(A2)= 则 ξ的分布列为： ξ 1 2 3 P 15 1 2 3 10 19 .10Eξ= ① 互换的 A班同学，则此时甲景点恰好有 2个 A班 同学的 事件记为 A1，则 (2)甲乙两景点各有一个同学交换后，设甲景点内 A 班同学数为 ξ，则 ξ=1, 2, 3, 有下面三种情况： ① ξ=1,甲景点 A班同学与乙景点 B班同学互 换， P(1)= 3 10 ξ= 2, 甲、乙景点的 A班同学互换；甲、乙景点的 B班同学互换， P(2)=12③ξ=3,甲景点 B班同学与乙景点 A班同学互 换， P(3)= 1 5 17.(本小题满分 13分 ) 如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中， AA1=2， AC=BC=1，∠ ACB=90°，点 E 是 AB的中点，点 F在侧棱 BB1上，且 EF CA⊥ 1. (1)求二面角 C-A1F-E的大小 ; (2)求点 E到平面 CA1F 的距离 E F A C B A1 C1 B1 解：方法一： (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，面 A1B⊥面 ABC，又 AC=BC， E为 AB中点 , ∴ CE AB, ⊥ ∴ CE⊥ 面 A1B, G ∴∠CGE为二面角 C-A1F-E的平面角 . 又∵ CE⊥面 A1B，∴ CE EF, ⊥ 而 EF CA⊥ 1, EF∴ ⊥面 A1CE , EF A∴ ⊥ 1E. ∴△A1AE EBF∽△ , BF=∴ 1 2 2 12·. 2 2 4 AE BEAA    过 E作 EG FA⊥ 1，垂足为 G，连结 CG, ∴CG A⊥ 1F 在 Rt A△ 1AE中， 2 2 2 2 1 1 2 3 22 ( ) ,2E 2A A A AE     在 Rt EBF△ 中， 2 2 2 22 1 3( 2F 4 4E BE BF    ）（）， 11 2 2F 94A E EFA    ， 1 1 3 2 3 · 22 4= 2 4 E 9G AE EF AF    ， 2 2 1, 45 .CE CGEEG    又 CE= ，∴ tan CGE=∠ 即二面角 C-A1F-E的大小为 45° EA B A1 C1 B1 F C G 1 1E-A CF C-A EFV =V 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2CE AE EF CG AF d       1 2 3 2 3 1 1 91 ,3 2 2 4 3 2 4 d        (2)设顶点 E到平面 A1CF的距离为 d，由 (1)CG=1， CE⊥面 A1B， A1F EF.⊥ E F A C B A1 C1 B1 G ∴ d= ，故点 E到平面 A1CF的距离为12 1 2小结：点到面的距离的求法（转化为点点 距）利用等积法或向量方法求解，转化为向 量的计算问题可以回避此类问题中大量的作 图、证明等步骤，；直线到与它平行的平面 的距离的求法（转化为点面距）；两个平行 平面的距离的求法；异面直线的距离的求法 （找出公垂线段或转化为线面距离） 奎屯 王新敞新疆 解：方法二 (1)如图，分别以 CA、 CB、 CC1为 x轴 、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系并设 BF=x，则 C(0， 0， 0) ， A(1， 0， 0)， B(0， 1， 0)， E(0.5， 0.5， 0)， F(0 ， 1 ， x)， A1(1， 0， 2)， EA B A1 C1 B1 C z yx F 1 1 1, , , 1 0 22 2EF x CA  uuur uuur （）（，，）， ∵EF⊥CA1, 则 1·0EF CA  uuur uuur ∴-0.5×1+0.5×0+2x=0,x=0.25 ∴F(0 ， 1， 0.25) 1 2 0(x,y,z) 0·0 11 0(x,y,z) 0·0 44 x z y z               r uur r uur (1,0,2)n CA则 (0,1, )n CA 由题意 CA=CB， E为 AB的中点，所以 CE AB⊥ ，又三 棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，∴ CE⊥平面 A1EF. 设向量 n=(x， y， z)为平面 A1CF的法向量 令 x=2，则 x=-1， y=0.25 ，∴ n=(2， 0.25， -1 ) CE uuur (0.5， 0.5， 0)为平面 A1EF 的法向量 0 9 ·2 8cos , n, 45 .29 2 4 2 n CEn CE CEn AE       r uuurr uuur r uuur r uuur ∴ 二面角 C-A1F-E的大小为 45° 9· 18d .9 2 4 CE n n   uuur 向量 CE在平面 A1CF的法向量 n上投影长即为点 E到平 面 A1CF的距离 (2)向量 CE在平面 CA1F的法向量 n上的射影的长为 ∴ 点 E到平面 A1CF的距离为 1 2 P1 P2 P O 13 2 1 2 27 , 24 PP PP uuur uuur 18.(本小题满分 13分 ) 如图，已知△ P1OP2 的面积为 ，求以直线 OP1、 OP2为渐近线过点 P 的离心率为 的双曲线方 程 . 解：以 O为原点，∠ P1OP2的平分线为 x轴 建立直角坐标系， x y 2 2 2 2 1,x ya b 设双曲线的方程为 13 .2由于双曲线的离心率为2 2 2 2 2 13 3e 1 ,4 2 c b b a a a      3y .2 x ∴ 两条渐近线的方程为 由此设点 P1(x1, -1.5x1)P2(x2,1.5x2)(x1>0,x2>0),由题设知点 P分 P1P2所成的比 λ=2， 得点 P的坐标为 1 2 1 22 2( , )3 2 x x x x  又点 P在双曲线上，∴    2 2 1 1 2 2 2 2 2 19 9 x x x x a a    即 (x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2, ∴8x1x2=9a2 ① 2 2 1 1 1 1 2 2 9 13| OP | ,4 2 13| | 2 x x x OP x     又 ， 2 1 2 2 2 322 tan x 122sin POP ,91 tan x 131 4 PO PO       且 1 2∴S△= |OP1||OP2|sin P∠ 1OP2= 1 2 1 13 12 27×,2 4 13 4x x 9 .2由此得 x1x2= 代入①式得 a2=4, b∴ 2=9, 所求方程为 2 2 1.4 9 x y  P1 P2 P O x y （万能公 式）  2 11 1, , ,2 n nx x x f x n N     3 2 1| 2 | .32nx   19.(本小题满分 14分 ) 已知 f(x) = 且 1<x1<2. (1)当 n≥2时，求证： 1<xn< ； (2) 试确定一个正整数 N(N≥2)，使得当 n>N时，都有1 2 (1)证明： f(x)= x2+x+1， xn+1=f(xn)， 3 2 ∴1<x2< ∴当 n=2时，不等式成立 ②假设 n=k(k≥2)时不等式成立，即 1<xk<3 .2 21 3( ) ( 1) [1 ,2 2f x x     Q ，在，）上是减函数 3 2∴xn+1= xn2+xn+1= (xn-1)2+12 1 2 3 2①当 n=2时， x2= (x1-1) 2+12 2 1 1 3( 1) ,2 2k kx x     用数学归 纳法证明 1 1 3 3(2) ( ) (1), 1 ,2 2k kf f x f x       3 .2 ∴ 当 n=k+1时不等式也成立 . ， 综上，由 ①、②可知对于 任意 n≥2都有 1<xn<    n 1 12 2 1 2 ,2n nx x x        即 1 1| 2 | | 2 | | 3[1 ( 2)]22 2 |,2n n nnx x x x n        （） 1 22 1 1| 2 | | 2 | 22 2n n nx x x      L 22 2 1 1 1 1 1| 2 | ,2 2 2 2n n nx       65 6 1 1 1 1| x 2 |32 2 2   因为，所以， n 1| x 2 | .32 即存在 N=5，当 n>5时，都有 2 2 1 1 1 3 1 32 ( 1) , 2 ( 1) 22 2 2 2k k k kx x x x          （）因为所以， 2 1 1 12 2 2 2)[1 ( 2)]2 2k k k k kx x x x x        （）（）=( 20.(本小题满分 14分 )设函数 f(x)=(1+x)2-21n(1+x). (1)求 f(x)的单调区间； (2) 若当 时 ,(其中 e=2.718…)不等式 f(x)<m 恒成立，求实数 m的取值范围； (3)若关于 x的方程 f(x)=x2+x+a在区间 [0， 2]上恰好 有两个相异的实根，求实数 a的取值范围 . 1[ 1, 1]x ee    2 21f (x)=2[(x 1) ]1 1 x x x x    ´ 解： (1)函数的定义域为 ( － 1， +∞)，由 f′(x)>0得 x>0,由 f′(x)<0, － 1<x<0. 则递增区间是 (0， +∞);　递减则区间 (－ 1， 0)；  2 2f (x)= 01 x x x  ´ 1[ 1,0]e  (2)由　　　　　　　，得 x=0由 (1)知 f(x)在　　　 上递 减，在 [0， e － 1]上递增，   221 1f ( 1) 2, 1 2f e ee e     又， 故 m>e2-2时，不等式 f(x)<m恒成立； 2 2 1e 2> 2e 且， 1x [ 1, 1]ee    时，f(x)的最大值为 e2-2, (3)方程 f(x)=x2+x+a =(x+1)2-2ln(1+x), 得 x－ a+1－ 2ln(1+x)=0 则因 2 1g (x) 1 ,1 1 x x x    ´ 所以 g(x)在 [0， 1]上递减，在 [1， 2]上递增， 为使方程 f(x)=x2+x+a在 [0， 2]上恰好有两个相异的实 根，只需 g(x)=0在 [0,1)和 (1,2 ]上各有一个实根， 于是有       0 0 1 a 0 a 1 1 0 2 a 2ln 2 0 a>2 2ln 2 3 a 2ln 3 0 a 3 2ln32 0 g g g                        ∵ 2-2ln2<3-2ln3，解得 2-2ln2<a≤3-2ln3. 故实数 a的取值范围为 2-2ln2<a≤3-2ln3. 记 g(x) =x－ a+1－ 2ln(1+x),由 g′(x)>0,得 x>1，由 g′(x)<0得－ 1<x<1, 一个不懂得感恩的人 , 即 使家财万贯 , 他仍是个贫穷的人 ; 懂得感恩并知恩报恩才是天下最 富有的人。 如果我们时时能用感恩的心来看这个世 间，则会觉得这个世间很可爱、很富有 ! 树 上小鸟的轻唱，太阳无私的光明与热能，路旁 花朵的芬芳，都会令你感到心旷神怡。 奋斗者不一定成功 , 不奋斗者一定不 成功 ! 教师寄语 : 斗奋