0 0 类别 : 教案

棱锥教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.正棱锥的直观图画法. 2.多面体的概念及其分类. 3.正多面体概念及其种类. 4.五种正多面体的表面展开图. 5.简单的折叠问题. （二）能力训练要求 1.使学生掌握正棱锥的直观图的画法. 2.使学生了解多面体的概念及其分类. 3.使学生了解正多面体的概念及其种类. 4.认识五种多面体的表面展开图. 5.使学生掌握在简单折叠问题中的平面图形与其折叠后的立体图形之间的变量与不变 量的分析与辨别. （三）德育渗透目标 1.培养学生用联系的观点，类比的思想分析解决各种问题的能力. 2.培养学生事物与事物之间可以在一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点. ●教学重点 1.正棱锥的直观图画法. 2.简单的折叠问题. ●教学难点 平面图形折叠前后的变量与不变量的辨析. ●教学方法 学导式 在以正五棱锥为例画正棱锥的直观图时，让学生在已掌握的直棱柱直观图画法的基础 上推想出正棱锥直观图的画法，并启发学生对如何确定正棱锥的顶点位置进行思考 .通过多 媒体课件的具体准确的逐步演示，使学生进一步熟练掌握其画法与步骤. 在对多面体概念及其分类进行学习时，结合学生所做的模型将多面体的概念及其分类 能直观形象的理解，在此基础上，给出正多面体概念，启发学生推想论证正多面体的性质. 通过指导学生将预先作好的课本 P52图 9—81的五种正多面体的表面展开图适当的对接 粘合的过程，体会从平面图形到立体图形的转化，并通过具体例题的分析，思考如何辨清 平面图形折叠成立体图形前后的变量与不变量，从而掌握折叠问题中的关键. ●教具准备 多媒体课件一个： 课本 P49例 2中的画法过程的演示，通过它具体准确的过程，使学生熟练掌握正棱锥的 直观图的画法，从而为学生进一步提高识图、画图及解图的基本技能和方法选择能力奠定 基础. 投影片三张： 第一张：本课时教案例 1（记作§ 9.8.3 A） 第二张：本课时教案例 2（记作§9.8.3 B） 第三张：本课时课堂练习 3（记作§9.8.3 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面，对直棱柱直观图的斜二测画法已经熟练掌握，这节课，在此基础上比较 着去学习如何画正棱锥的直观图，并引入一个在棱柱、棱锥等概念的基础上归纳产生的更具 有一般性的概念——多面体. Ⅱ.讲授新课 ［师］请同学们回忆前面我们画直棱柱直观图的基本步骤有哪些？ ［生］①画轴 ②画底面 ③画侧棱 ④成图 ［师］画图过程中的要点有哪些？ ［生］直棱柱的底面应遵循水平放置的平面多边形直观图的画法，平行于 Z轴的线段 的平行性与长度都不变. ［师］好，能由此推想出怎样去画棱锥的直观图吗？ （学生思考） ［生］只要画出棱锥的底面和顶点，再连结顶点与底面多边形的各顶点，即可完成了 棱锥的作法. ［师］对于正棱锥来说，它的直观图画法与直棱柱直观图的画法相同之处有哪些？ ［生］因为正棱锥的底面是正多边形，所以，只要按照水平放置的平面图形的直观图 画法就能得到. ［师］对于棱锥的顶点，该如何确定呢？ ［生］在过底面中心的底面垂线上取与底面中心距离等于棱锥高的点就可以画出它的 顶点位置了. ［师］下面，请大家打开课本 P49的例 2，我们就以正五棱锥为例，说明正棱锥直观图 的画法. （打出多媒体课件，演示课本 P49的例 2画法过程，让学生更清楚准确的掌握正棱锥的 画法，体会画图的关键） 请大家归纳用斜二测画法画正棱锥的步骤？ ［生］①画轴 ②画底面 ③画高 ④成图（板书） ［师］整个画图过程的关键是什么？ ［生］确定正棱锥的顶点所在位置. ［师］仔细观察此题目比前面课本 P45画直棱柱直观图多了一个什么问题？如何处理？ ［生］增加了比例尺问题，这个题的比例尺是 5 1 ，所以 x′轴和 z轴上的线段取实长 的 5 1 ，y′轴上的线段取实长的10 1 . ［师］好，以上过程，让我们又一次体会到了画图是识图的继续，也是解图的准备， 所以我们一定要熟练掌握一些常见图形的直观图画法. 下面，我们学习一个新概念即多面体，请同学们阅读课本 P50的“（1）多面体”并拿 出课下预习时做的课本 P51图 9—78及图 9—79的两个模型进行观察. （学生阅读，教师巡视） ［师］通过自己阅读课本，大家理解了多面体及其有关概念，现在观察图 9—78的模 型，如果把这样的多面体的任何一个面伸展为平面，那么大家想象，其余各面位置关系如 何？ ［生］其余各面都在这个平面的同侧. ［师］我们将具有这个特点的多面体称为凸多面体. ［师］同样将图 7—79的模型中的侧面 VAB（或 VAE）伸展为平面，那么再推想，其 余各面都还会是在这个平面的同侧吗？ ［生］不会. ［师］显然这样的多面体不能称为凸多面体了，常常称之为非凸多面体，能举一些我 们学过的凸多面体的例子吗？ ［生］棱柱、棱锥等. ［师］以上我们是根据将棱锥任一个面伸展为平面后，其他各面是否都在该平面同侧 分为凸多面体与非凸多面体，还可以根据棱锥所具有的面的个数，分为四面体、五面体等 . 如：前面说过的三棱锥、四棱锥、正方体、三棱柱分别可以为几面体呢？ ［生］三棱锥为四面体、四棱锥为五面体、正方体为六面体，三棱柱为五面体. ［师］请思考多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、平行六面体各集合的包含关系，并用图形 表示出来. ［生］（板书） ［师］当一个凸多面体的每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端 都有相同数目的棱时，叫这样的凸多面体为正多面体 .事实上，正多面体的种类只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 对于为什么只有五种正多面体这一问题，随着我们学习的深入，后面的欧拉公式可以 解释. 现在请同学们观察课本 P51图 9—80，推想出正多面体的性质有哪些？ ［生］正多面体的各个面都是全等的正多边形.各条棱都是相等的线段. ［师］将课下预习时所做的课本 P52的五种正多面体的表面展开图拿出并沿图中虚线折 叠，体会平面图形与立体图形的相互转化关系，思考以下问题. （学生动手折叠，并观察、讨论、研究，打出投影片§9.8.3 A,读题） ［例 1］请问如图中，哪些是正方体表面展开图，哪些不是？ ［师］解决这个问题，从哪些角度入手呢？ ［生］可以将一个一个平面图形合成，从而使问题获解. ［师］显然，这个方法虽实在但速度较慢，有其他较快的方法吗？ ［生］可以只考虑边的重合，从而使问题获解. ［师］能具体举一例分析吗？ ［生甲］如图 J中，边 1与 2重合，3与 4重合，5与 6重合，7与 8重合，9与 10重合， 11与 12重合，13与 14重合，从而得到正方体. ［师］生甲分析得很好，下面大家通过讨论，完成其余图形. （学生积极讨论，教师给予个别指导） ［师］以上方法的应用可使我们很快得出哪些图形不能合成正方体？哪些能合成正方 体呢？ ［生］图 k与 L不能合成正方体，其余图形都可以合成正方体. ［师］大家通过例 1的分析体会到了平面图形与立体图形间的转化关系，而事实上， 我们常常遇到的是求平面图形折叠后的立体图形中的线面位置关系及有关角和距离等问题 试体会以下题目. （打出投影片§9.8.3 B,读题） ［例 2］如图（1），△BCD内接于直角梯形 A1A2A3D， 已知沿△BCD三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去， 恰好形成一个三棱锥 A—BCD如图（2）. （1）求证：在三棱锥 A—BCD中，AB⊥CD. （2）若直角梯形的上底 A1D=10，高 A1A2=8，求翻折后 三棱锥的侧面 ACD与底面 BCD所成二面角 θ的余弦值. 分析：（1）欲证线线垂直，则通过线面垂直去实现， 故只需利用已知条件寻求 AB或 CD垂直于 CD或 AB所在的平面即可，那么如何寻求这一 关系？ ［生］利用平面图形的性质，即因直角梯形有两个角 是直角这一条件得出 A1D⊥A1B，A2C⊥A2B. ［师］这两个关系在翻折成三棱锥后改变了吗？ ［生］不会改变. ［师］抓住这两个不变的垂直关系，请进一步推理论 证. ［生］由三棱锥中有 AB⊥AD，AB⊥AC，得 AB⊥ 平面 ACD，又因 CD平面 ACD，所以 AB⊥CD. （2）欲求侧面 ACD与底面 BCD所成二面角 θ，则须作出二面角的平面角，再将其放 入一个三角形中去解，那么怎样根据已知条件准确地找出这个二面角的平面角呢？ ［生］用 AB⊥平面 ACD，所以在平面 BCD内过 B作 BE⊥CD，则依三垂线定理的逆 定理得，连结 AE，且 AE⊥CD，那么∠AEB就是所求二面角的平面角了. ［师］又如何去求∠AEB，即 θ的大小呢？同学们在下面将推理计算过程写出来，请 一位同学黑板上做. 解：由题目条件，得 B1C一定是 A1A2、A2A3的中点， ∴A1D=A3D=10，A1B=A2B=4 在图（1）中作DF⊥A2A3，垂足为 F，得DF=8， 在 Rt△DFA3中，得 FA3=6 ∴A2A3=16 ∴A2C=CA3=8，CF=2.容易得 S△BCD=36，S△CDA=32 ∵在图（2）中，BE= CD SAECD S CDABCD  2,2 ∴在 Rt△ABE中，cosθ= 9 8 36 32  BCD ACD S S BE AE   （板书） ［师］例 2的分析，我们发现在平面图形经过折叠后的立体图形中，随着位置关系的 改变，有些元素间的位置、数量大小关系要发生变化，因此辨清哪些是变量，哪些不是变量 是解决折叠问题的关键.另外，对于不变量的数据，一般可以在平面图形中根据已知条件容 易确定，所以，应在平面图形中求得空间图形所需的数据，然后在空间图形中应用. Ⅲ.课堂练习 1.课本 P50练习 画出底面边长为 2 cm,侧棱长为 6 cm的正四棱锥的直观图. 答案：依据（1）画轴 （2）画底面 （3）画高 （4）成图，4个步骤完成.（图略） 2.课本 P52练习 1 四面体都是三棱锥吗？正四面体与正三棱锥的意义完全相同吗？ 答案：都是，不完全相同 3.（打出投影片§9.8.3 C） 矩形 ABCD的边长分别为 a、b,P是 CD的中点，把矩形 ABCD沿 AP、BP折成一个三棱 锥的三个侧面，求这三个侧面中面积最大的侧面与底面所成的二面角的正弦值. 答案：由原图可知△PAB的面积最大. 在如图三棱锥 P—ABC中， ∵PC⊥BC，PD⊥DA， ∴PC（D）⊥面 ABC（D）. ∴作 PQ⊥AB于Q，连结 CD， ∴CQ⊥AB. ∴∠PQC为侧面 PAB与底面 ACB所成的二面角的平面角. ∵PA=PB，PQ⊥AB， ∴PQ为 AB边上的中线， ∴PQ=b, ∵PC= 2 a ,∴sinPQC= b a 2 Ⅳ.课时小结 本节课我们讨论了正棱锥的直观图的斜二测画法，为进一步解图奠定基础 .简单学习了 多面体、正多面体的概念及其分类，另外，还研究了简单折叠问题的处理方法，应该注意的 是：辨清图形折叠前后的变量与不变量是解决此类问题的关键. Ⅴ.课后作业 （一）课本 P52 6、7. （二）1.预习内容 （1）系统复习§9.2~§9.6的内容. （2）尝试探索三棱锥不同于其他多面体的性质. 2.预习提纲 尝试归纳有关线线、线面定理在解题中的应用有哪些？ ●板书设计 §9.8.3 棱锥（三） 1.正棱锥的直观图画法 例 1分析： 2.多面体的定义及分类 例 2分析： 3.正多面体的定义、种类、性质 解（学生板演） 4.折叠问题 小结