0 0 类别 : 教案

二项式定理教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.“赋值法”. （二）能力训练要求 1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用. 2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题. （三）德育渗透目标 1.提高学生的数学素质. 2.树立由一般到特殊的意识. ●教学重点 1.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （2）增减性：∵C 1C1  knkn k kn ∴当 k＜ 2 1n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. （3）最大值：当 n为偶数时，中间一项（第 2 n +1项）的二项式系数最大，最大值为 C 2nn . 当 n为奇数时，中间两项（第 2 1n 项和第 2 1n +1项）的二项式系数相等，且同时 取最大值，最大值为 C 212 n 或 C 21nn . （4）各二项式系数和 C 0n +C 1n +C 2n +…+C rn +…+C nn =2n. 2.“赋值法”在解题中的运用. ●教学难点 与二项展开式中系数最大项有关问题的求解. ●教学方法 发现法 ●教学准备 投影片一张 内容：课本 P108图 10—9. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师生共同活动］ （a+b）n=C 0n an+C 1n an－1b1+…+C rn an－rbr+…C nn bn. Tr+1=C rn an－rbr. Ⅱ.讲授新课 ［师］通项公式中的 C rn ，我们称其为二项式系数.（a+b）n展开式的二项式系数，当 n依次取 1，2，3…时，如下表所示： 不难发现，它有这样的规律：每行两端都是 1，而且除 1以外的每 1个数都等于它肩上 两个数的和. ［师］能用我们所学知识解释一下吗？ ［生］设这一数为 C rn 1 ,其肩上的数则为 C 1rn 和 C rn ，由组合数知识可知： C rn 1 =C 1rn +C rn . ［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家 1261年所著的《详解九章算术》 中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现的淋漓尽致. （打出投影片） ［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质. 同学们看出哪些性质？ ［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ［师］可知为什么呢？ ［生］∵ mnnmn CC . ［师］还有什么性质？ ［生］增减性与最大值. 当 k＜ 2 1n 时，二项式系数是逐渐增大的. 当 k＞ 2 1n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当 n是偶数时， 2C n n 最大. 当 n是奇数时, 2121 C,C  n n n n 相等，且最大. ［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此 C rn 可看成是以 r为自变 量的函数 f（r）,其定义域是{0,1,2,…,n}. （a+b）1 （a+b）2 （a+b）3 （a+b）4 （a+b）5 （a+b）6 …… 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ［师］可以解释上述性质吗？ ［生］∵C kk knnnnk n   )!1( )1()2)(1(  .)1(C 1 k knk n   ∴当 k kn 1 ＞1，即 k＜ 2 1n 时, 1C C k n k n ＞1,即 knC ＞ 1C kn . 当 k kn 1 ＜1,即 k＞ 2 1n 时， 1C C k n k n ＜1,即 knC ＜ 1C kn . ［师］还有其他性质吗？ ［生］∵（1+x）n=C 0n +C 1n x+C 2n x2+…+C rn xr+…+C nn xn, 当 x=1时，2n=C 0n +C 1n +C 2n +…+C rn +…+C nn . 即（a+b）n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n. ［师］是否还可发现其他性质呢？ ［生］在（a+b）n的展开式中， 令 a=1,b=－1,则可得： 0=C 0n －C 1n +C 2n －C 3n +…=（C 0n +C 2n +…）－（C 1n +C 3n +…） 即 C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n +… 也就是说，在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和. ［师］下面看怎样应用这些性质. ［例］已知（ 3 1 xx  ） n展开式的系数之和比（a+b）2n展开式的系数之和小 240， 求（ 3 1 xx  ） n展开式中系数最大的项. 分析：由于（ 3 1 xx  ） n,（a+b）2n展开式的系数之和都是它们的二项式系数的和 . 另外，（ 3 1 xx  ） n展开式的系数最大项也是其展开式中二项式系数最大项. 解：由题意得：2n=22n－240 ∴22n－2n－240=0 即（2n－16）（2n+15）=0 又∵2n+15＞0,∴2n－16=0∴n=4. ∴（ 3 1 xx  ） n=（ 3 1 xx  ） 4 ∴（ 3 1 xx  ） 4展开式中二项式系数最大项为第 3项. 即 T3=C 24 （ x ）2（ 3 1 x ） 2=6 3 x ∴（ 3 1 xx  ） n展开式中系数最大的项为 6 3 x . Ⅲ.课堂练习 （学生练习，老师讲评） 课本 P110练习 1～3. .22 2CCC 2)CC(2)CC()CC( CCCCC ,CCCC ,2CCCCC:.2 .2 1 2 2)4( ;10242CCC)3( ;126C)2( ;CCCCC)1.(1 120 203120 210 3120 210 1 1011 11 3 11 1 11 4 9 9 15 5 15 9 15 10 15 10 16            n n n nnn n nnnnnn n n k nnnn nnnn nn n k nnnn n n ba       证明 原式 评述：注意灵活利用二项式系数性质. Ⅳ.课时小结 通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式 系数之和. Ⅴ.课后作业 （一）课本 P111习题 10.4 4，5. （二）1.预习提纲 如何利用二项式定理，通项公式及二项式系数性质解决相关问题？ ●板书设计 §10.4.2 二项式定理（二） 二项式系数性质： 例题讲解 ①对称性 ②增减性及最大值 ③二项式系数之和