求曲线的方程教案 2
教学目标
(1)明确求曲线的方程的重要步骤，会用直接法求简单曲线的方程．
(2)掌握建立适当的坐标系求动点轨迹的方法，逐步拓宽思路，积
累技巧．
(3)逐步熟悉用代数方法解决几何问题的思维方式，理解应用解析
几何的基本思想．
教学重点与难点
重点：用直接法求曲线方程，掌握其基本思路和步骤．
难点：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0．
教学过程设计
(一)学生阅读课文(P83求曲线的方程例2前)
阅读思考题：
(1)什么是“坐标法”？“坐标法”研究问题的核心思想是什么？
(2)“解析几何”是一门怎样的学科？它研究的主要问题是什么？
(二)导入新课
我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念，利用这两个重要
概念，就可以借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的
点的集合或轨迹．用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0
表示曲线，通过研究方程的性质，来研究曲线的性质．这种借助坐标系
研究几何图形的方法叫做坐标法．
“坐标法”研究问题的核心思想是用代数方法研究几何问题．
“解析几何”就是用代数方法研究几何问题的一门数学学科．平
面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已条条件，求出表示平面曲线的方程．
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
下面我们通过研究几个具体例子，来掌握这一方法．
研究题1 设 A、B两点的坐标是(－1，－1)、(3，7)，求线段AB的垂
直平分线的方程．
分析：在坐标系中作出图形，明确已知条件，和要求的曲线的方程．
在所求曲线上取动点M(x，y)，运用已知条件P(M)，建立方程f(x，y)
＝0．
解：设M(x，y)是线段AB垂直平分线上的任意一点，则
平方整理得 x＋2y－7＝0．
这就是线段AB的垂直平分线l的方程，f(x，y)＝x＋2y－7＝0．
现在我们来证明：l是方程x＋2y－7＝0的曲线，x＋2y－7＝0是
曲线l的方程．
(1)在线段AB的垂直平分线l上，任取一点M1(x1，y1)，
整理得 x1＋2y1－7＝0．
M1(x1，y1)是方程x＋2y－7＝0的解．
这就证明了(纯粹性)，垂直平分线l上每一点的坐标，无一例外地
都是方程f(x，y)＝x＋2y－7＝0的解．
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程x＋2y－7＝0的解，
则 x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1．
这就证明了(完备性)，以方程x＋2y－7＝0的解为坐标的点无一遗
漏地都在曲线l上．
由(1)，(2)证明3方程x＋2y－7=0是线段AB的垂直平分线的方程．
研究题2，点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数K(K＞
0)，求点M的轨迹方程．
分析：这一问题没有给出坐标系，需要自己去建立．在建立坐标系
时，一定要把两坐标轴和原点选在恰当的位置，使点的坐标尽量简单，
这样可以减少运算量．
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，交点为原点，建立直角
坐标系．设动点M的坐标为(x，y)．
点M到x轴，y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，即|
x|=|MR|，|y|=|MQ|．
根据已知条件，|MR|·|MQ|=K，即|x|·|y|=K．
∴xy=±K．
下面证明方程xy=±K是所求轨迹的方程．
(1)在轨迹上任取一点M1(x1，y1)，过M1作两轴的垂线，垂足分别
为Q、R，则|x1|=|MR|，|y1|=|MQ|，|MR|·|MQ|=K，即|x1|·|y1|
=K，x1y1=±K，M1(x1，y1)是方程xy=±K的解．
这就证明了(纯粹性)，轨迹上每一点的坐标，无一例外地都是方程
xy=±K的解．
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy=±K的解，则x1y1=±K，即|
x1|－|y1|=K而|x1|，|y1|正是点M到纵轴，横轴的距离，因此点M，到
这两条直线的距离的积是常数K，点M1在轨迹曲线上．
由(1)，(2)证明3，方程xy=±K是所求轨迹的方程．
通过以上两个问题的研究，我们可以看出求曲线方程的一般步骤是：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点
M的坐标．
(2)写出适合条件P的点M的集合，P={M|P(M)}．
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0．
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式．
(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况
下，如果化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可省略不答，如有特
殊情况，可适当说明．
研究题3：已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点
A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
解：设点P(x，y)是这条曲线上的任意一点．
P点到x轴的距离：|PB|=y，(P点在x轴的上方)，
(三)课堂练习
课本练习 2
解：设动点M的坐标为(x，y)．
M与 x轴的距离：|MB|=|y|．
平分整理，曲线方程为x2－8y＋16=0．
(四)作业
习题7.6 3，4，5，6
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