圆的标准方程教案
教学目标
(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理
解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合
方程解决圆的有关问题．
(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点
引切线；已知切线斜率求切线等．
教学重点和难点
重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切
线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．
难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．
教学过程设计
(一)导入新课，教师讲授．
同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，
今天我们研究圆及与圆有关的问题．
什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．
“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．
定点就是圆心，定长就是半径．
根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．
(启发引导学生推导)．
设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．
则│CM│=r,
两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,
我们得到圆的标准方程，
这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标
准方程．
如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．
这时圆的方程为
．
下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程．
设 M(x,y)是圆上任意一点，过圆心C(a,b)，作x轴的平行线与
圆交于A、B两点，则A点坐标为(a-r,b)，B点坐标为(a+r,b)，
=(x-(a-r),y-b)、 =(x-(a+r),y-b)，
M为圆上一点，AM⊥BM， · =0．
[x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0,
整理得．(x-a)2+(y-b)2=r2．
例 1．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方
程．
解：已知圆心C(1，3)，现在来求圆的半径r，因圆心到切线的距
离等于半径，
例 2 图 7-37是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度
AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2
的长度．
[师生共同分析思路]
如图，先确定有关各点的坐标，A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4)，再找
出圆拱所在圆的方程，设这圆的圆心为(0,b)，半径为r，则圆的方程为
x2+(y-b)2=r2，由，A、B、P这些已知点，选A、P或B、P代入圆的方程，可
以求出b和r，这样，这个圆的方程就为已知．P2点为圆上一点，满足
圆的方程，P2的坐标为(-2,y2)，把x=-2代入圆的方程，求出y2，∴A2P2
的长度为y2．
(学生阅读例2)
(二)学生课堂练习
1、课本练习题1．(1)x2+y2=9;(2)(x-3)2+(y-4)2=5;
(3)(x-8)2+(y+3)2=25．
2、课本练习题2．x2+y2=196．
(三)教师讲授，师生研究
下面我们来研究圆的切线问题：
(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程．
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线
的方程．
[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连
接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也
可求出，由点斜式可得到切线的方程．
解： 设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0),
∴切线l的方程是
这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义．
(2)已知切线的斜率，求切线的方程．
们通过判别式可以解决这个问题．
Δ=(12b)2-4×13×9(b2-13)=0, 4b2-13(b2-13)=0,
即两条切线为：2x+3y-13=0或 2x+3y+13=0．
(3)过圆外一已知点引圆的切线，求切线的方程．
例 3 已知圆的方程为x2+y2=13，P(-4，7)是圆外一点，求过P点
与圆相切的切线方程．
[解法一]求出切点．
设切点的坐标为(x0,y0)，
则切线方程为x0x+y0y=13．
又 P(-4，7)点在切线上，
(-4)x0+7y0=13．
代入切线方程，得两条切线，2x+3y-13=0或 18x+y+65=0．
[解法二]求出斜率．
设切线的方程为：y-7=K(x-4)
即 kx－y＋4k＋7=0．
根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，求出 k，
代入点斜式，得两条切线为2x＋3y－13=0或 18x＋y＋65=0．
(四)学生课堂再练习：
(五)小结．圆的切线的求法．
(1)已知切点求切线，把切点(x0，y0)坐标代入公式x0x＋y0y=r2即
得到切线方程．但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的
圆．
(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx＋b，代入圆的方程，
由△=0，求出截距b．这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小．
(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线
的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线．这一求法较有普
遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便．
(六)作业．
习题7．7 1、2、3、4
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