圆的标准方程和切线问题教案
教学目标
1．使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法．
2．通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情
推理方法，提高学生运算能力、逻辑推理能力，
3．培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质．
教学重点与难点
圆的标准方程和切线的求法是教学重点，圆的切线的求法是教学难
点．
教学过程
师：前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适
合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点的坐标为(x，y)；
②探求这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系，列出等式并化简．
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲．用这个方法我们曾经求
出圆心在原点，半径为5的圆的方程，它的方程是怎样的？
生：x2+y2=25，
师：若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，
半径为r的圆的方程？
生：x2+y2=r2．
师：你是怎样得到的？(启发地)圆上的点满足什么条件？这些条件
怎样转化成圆上的点的坐标所满足的条件？
生：此圆是到原点的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式
可得：
即x2+y2=r2．
师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊，圆心在原点．有时候圆心
可能不在原点，若此圆的圆心移至(a，b)点，圆的方程是怎样的？
生：此圆是到点(a，b)的距离等于r的点的集合，由两点间的距离
公式可得
即：(x－a)2+(y－b)2=r2．
师：方程(x－a)2+(y－b)2=r2叫做圆的标准方程．圆的标准方程由
哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？
生：平面几何中，圆由圆心、半径决定，圆的方程由a、b、r决定(其
中a、b是圆心的横、纵坐标，r是圆半径)．
师：很好！这里再一次体现了解析几何的特点——用代数的方法研
究几何问题．由此可见，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这3个独立
变量即可．
请同学们思考这样一个问题：
例 1 已知两点A(4，9)和 B(6，3)，求以AB为直径的圆的方程，
并且判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
师：这道题的已知、要求很明确，应怎样解？
生：先求圆的方程，再判断点的位置．
师：要确定圆的方程需要求什么？要不要按“四步曲”来求？
生：不需要，只要根据圆的标准方程，求出圆心和半径即可．
师：怎么求？
生：用中点公式求圆心坐标，用两点间距离公式求半径．
师：好！请具体求出．
生：圆心C(a，b)是线段AB的中点，那么它的坐标为：a=5，b=6．
因此圆的方程是：(x－5)2+(y－6)2=10．
所以点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
由此可见，若点 P(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上，点 P的坐标
与圆的方程有什么关系？P在圆外，圆内呢？
师：这道题研究了点和圆的位置关系．试问直线和圆有哪些位置关
系？
生：相交、相离、相切．
师：相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关
系，在解析几何中，我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出过
圆上一点的切线方程吗？
师：你打算怎样求？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求．
师：斜率怎么求？
生：……
师：已知条件有哪些？可以直接利用吗？不妨画张图看看．如图 2
－22．
生：切线与半径 OP互相垂直，故斜率互为负倒数．
师：哪位同学能够具体的说一说？
猜想？
生：……
如果看不出来，我们可以再演算两个例子试一试．谁来举例？
生：圆的方程是x2+y2=13，过其上一点(2，3)的切线方程是2x+3y
－13=0．
生：圆的方程是x2+y2=5，过其上一点(－2，1)的切线方程是－
2x+y－5=0．
师：发现规律了吗？(学生纷纷举手回答问题)
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个
y，便得到了切线方程．
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点(x0，y0)，
结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：x0x十 y0y=r2．
师：这个猜测对不对？若对，可否给予证明？
生：……
师：这个问题就相当于：已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点
P(x0，y0)的切线的方程．
用点斜式表示方程，有什么条件？
生：切线若与x轴垂直，则不能用点斜式表示．
师：要求切线的斜率，需要求半径 OP的斜率，OP的斜率一定存在
吗？
(引导学生完成解题过程)
解 ①若切线的斜率不存在，x0=±r，y0=0，切线方程为x=r，或
x=－r．
②若半径的斜率不存在，y0=±r，x0=0，切线的方程为y=r，或 y=
－r．
③若切线及半径的斜率都存在，设切线的斜率为 k，
经过点 P的切线方程为：
亦即x0x+y0y=r2．(*)
经验证：①②均适合(*)式，故切线方程为：x0x+y0y=r2．
师：对照圆的方程x2+y2=r2及点 P(x0，y0)，看看切线方程与圆的方
程有什么关系？
生：圆的方程可看成x·x+y·y=r2，将其中一个x、y用切点的坐标
x0、y0替换，可得到切线方程．
师：按照这种方法，若圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，过其上一
点(x0，y0)的切线方程会是怎样的呢？能猜到吗？
生：切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2．
师：你的猜测对吗？可否给予证明？
这实际上就是：已知圆的方程是
(x－a)2+(y－b)2=r2，
求经过圆上一点(x0，y0)的切线方程．
解 ①若切线及半径的斜率都存在，
即(x0－a)(x－x0)+(y0－b)(y－y0)=r2．(**)
② 若切线或OP的斜率不存在时，切线方程也是(**)式．
师：(**)式与同学猜测的结果(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2不
同，是我们猜错了？还是算错了？哪里出了毛病？
生：对比两个方程，凑出(x－a)项，将(**)式整理如下：
[(x－a)－(x0－a)](x0－a)+[(y－b)－(y0－b)](y0－b)=0，
即：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=(x0－a)2+(y0－b)2．
因为 P在圆上，
故(x0－a)2+(y0－b)2=r2，
所以切线方程为：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2．
这与同学们猜测的结果是一致的！
设计思想
在教学过程中，教师遵循数学本身的发展规律，同时注意到学生的
认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：
在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几
何中常见的曲线——圆．
从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等
等合情推理的方法，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的
方程，体会数学中的美学——对称、简洁．
在探求圆的切线方程时，运用波利亚一般解题方法求出过圆x2+y＝
r=r2上一点(x0，y0)的切线方程，同时也提出思考：若改变条件为圆(x
－a)2+(y－b)2=r2，结论将发生怎样的变化？此时引导学生通过观察、类
比、联想、猜测、归纳出一般方程，并且给以证明，既教猜想，又教证明．
在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问
题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关．
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