用综合法证明不等式教案
教学目标
1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这
一重要定理，并能运用它们证明一些不等式．
2．了解综合法的意义．
3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法
进行推理论证的能力．
教学重点和难点
用综合法证明定理及推论的教学．
教学过程设计
(一)新课引入
师：我们已学过用比较法(求差、求商)证明不等式，它是一种最基本
最常用的方法．请完成以下练习．
1．证明：x2＋2＞2x(x为实数)．
2．请问：x2＋1与 2x的大小关系是什么？并证明你的结论．
(教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上)
1．证法 1：由(x2＋2)－2x=(x－1)2＋1≥1＞0，知 x2＋2＞2x．
证法 2：由(x－1)2≥0，知(x－1)2＋1≥1＞0，即 x2－2x＋2＞0，则
x2＋2＞2x．
师：两位同学的证明都正确，他们都是根据 a2≥0(a≥R)．在证法
上有区别吗？请大家思考．
2．答：x2＋1≥2x．
证法 1：由(x2＋1)－2x=x2－2x＋1=(x－1)2≥0，知 x2＋1≥2x．
证法 2：由(x－1)2≥0， ①
知 x2－2x＋1≥0，则 x2＋1≥2x． ②
师：同学们得到的结论几乎是一致的，是 x2＋1≥2x．主要证法已
列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？
生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是……
师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，
我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的．
生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，
就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等
式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明．
师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．
也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用
某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求
证的不等式的方法通常叫做综合法．
对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以
证明的．
今天我们一起研究如何用综合法证明不等式(板书课题)．
(二)用综合法证明不等式
1．综合法
师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为
基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式．
2．定理推导
师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果 a，b∈R，那么有
(a－b)2≥0．把左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0，则 a2＋b2≥2ab．这就是
课本 P8中介绍的定理 1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法
加以证明的．
(把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处
需实物投影仪)
证明：a2＋b2－2ab=(a－b)2
当 a≠b时，(a－b)2＞0；当 a=b时，(a－b)2=0．
所以(a－b)2≥0，即 a2＋b2－2ab≥0．因此 a2＋b2≥2ab．
师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊
情况应予以重视．不等式 a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？
生：是 a=b．
师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分
的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理 1表述为：
定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a=b时取“=”
号)．(板书)
师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构．
生：公式 a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我
想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和．
师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用
途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的
次数降下来？
师：大家都同意他的作法吗？有什么不同意见吗？
师：同学们思考问题已越来越严谨了，的确，从学生甲的方法应得
到学生乙的
见的，因为正数一定比负数大．因此只把“＋”的情况单独提出来，
做为定理 1的推论．
生丁：我与学生甲的想法不同．既然定理 1的 a2＋b2≥2ab对任意
的 a，b∈
师：学生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推论，这个推论十
分重要．我
几何平均数．这个推论则可以叙述为：两个正数的算术平均数不小
于(即大于或等于)它们的几何平均数．
3．定理的初步应用
师：看到这个问题，你的第一想法是什么？
生：使用定理加以证明．
师：若想定理帮忙，首先要看是否符合定理的条件．
师：再看是否符合定理的结构．
师：实际上，我们是用定理 1的推论进行证明的．
(教师把证明过程板演到黑板上)
师：使用定理时，应特别注意：等号何时成立，不过这只要看定理
是怎么形成的就可以了．
4．定理的推广
师：我们已研究得到两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数．这个结论可以推广到 3，4，…，n(n∈N+)个正数，在中学只要掌握
到三个正数的相应结论．请问应是什么？
生：应该是：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
师：用符号语言应如何表述？请写到黑板上．
(学生书写在黑板上)
师：如何证明呢？
生：……
来较为复杂，能否做适当变形使之简化呢？
师：想得好，它有条件吗？
生：有．同样是 a，b，c∈R+．
师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，
想出多少说多少．
生甲；我觉得证 a3＋b3＋c3≥3abc更容易点．它能拆成
a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由条件只要证出 a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即
可．
生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的 2a2＋2b2＋
2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易证出．
师：虽然他们还没能把命题证出，但从他们的发言中我们得到了一
点启发：三次的问题转化为二次的解决．
生丁：我证出来了．
(学生口述，教师板书)
证明：由于 a，b，c∈R+，由定理 1，得 a2＋b2≥2ab，则 a2－ab＋
b2≥ab．
所以 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)≥(a＋b)ab=a2b＋ab2，即 a3＋b3≥a2b
＋ab2．
同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥a2c＋ac2．
三式相加，得
2a3＋2b3＋2c3≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2
=b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2)
≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab
=2abc＋2abc＋2abc
=6abc．
故 a3＋b3＋c3≥3abc．
师：证得漂亮，你是怎么想出来的？
生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理 1及推论．证题
时我又借鉴了他们俩的经验，对 a3，b3，c3的降次转化工作不是一个、一
个地去做，而是对它
再用立方和公式分解后完成．
师：他还有两处处理得很好．一处是：a2－ab＋b2≥ab；另一处是
对三式相加后的式子的重组．很明显，他是在努力创设条件、充分利用
定理证题．这个问题是用什么方法加以证明的？
生：综合法．
师：刚才的证明过程不仅帮我们把问题得以解决，而且还帮助我们
加深了对综合法的认识，从中可体会到应如何使用综合法证题．
证明此题还有其它办法吗？
生：我是用求差比较法证的．
(学生口述，教师板书)
证明：由于 a3＋b3＋c3－3abc
=(a＋3)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc
=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)
=(a＋b＋c)[a2＋2ab＋b2－ac－bc＋c2－3ab]
=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)
又 a，b，c∈R＋，则 a＋b＋c＞0．
由(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0，知(a－b)2＋(b－c)2＋(c－
a)2≥0．
进而 a3＋b3＋c3－3abc≥0．即 a3＋b3＋c3≥3abc．
师：正确，而且思路很清晰．这个思路你是怎么想出来的？
生：我是一看到这个题目就想用比较法的．我本以为作差后，能因
式分解，再用条件或定理 1，就可断定式子的符号，题目也就证出来了，
但我第一次两两分组就不成功，没分解出来．再试时，我看
a3，b3，c3，3abc这四项都是 3次的，就先凑出与之齐次的(a＋b)3再配
平，结果就出夹了．
师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的．
其实，课本中采用的就是这种证法．
这同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条
件．从刚才的证明过程看，“=”出现在(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0中，
这是显然有：当且仅当 a=b，b=c，c=a同时成立，即 a=b=c时等号成立．
至此，我们已得到了定理 2及其推论．
(教师板书)
定理 2 如果 a，b，c∈ ，那么 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a=b=c
时取“=”号)．
号)．
师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的．它的证明方法远
不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试．
(三)小结
(引导学生归纳总结)
1．已学过的不等式证明方法．比较法、综合法．
2．用综合法证明不等式的依据是什么？
(1)已知条件和不等式性质；
(2)基本不等式：
①若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a=b时取“=”号)．
③若 a，b，c∈R＋，则 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a=b=c时取“=”
号)．
3．综合法与比较法的内在联系．
本节课的课前两个练习与两个定理的证明都是既用了比较法，又用
了综合法，这引起了我们对二者内在联系的思考．
由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、
性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根
据不等式的意义、性质或比较法来证明．
摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不
出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们
不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题
方法．
显然，对于需用基本不等式证明的问题，直接用结论要比再从头证
一遍容易很多．
4．注意：
(1)定理使用的条件．
只有 a2＋b2≥2ab是对任意实数 a，b都成立，其余都要求在正数范
围内．
(2)定理中“=”号成立的条件．
(四)布置作业
《高级中学课本·代数·下册(必修)》(人教社 90年版 98年印刷)P11
练习 1，2．
补充题：
(1)已知：a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．
课堂教学设计说明
这节课是本章(第五章、不等式)的重点．在这堂课中不仅要讲授证明
不等式的一种方法——综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等
式定理及推论．在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明
不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们
时又可采用综合法．因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放
开一点的第 2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲
过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想
到，教师点拨起来也并不困难．而后顺着学生用综合法的需要，介绍了
4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如
何用综合法证明不等式．
从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问
题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而
不是只支离破碎地记住了一些名词和公式．
表面上看，本节练习不够，但实际上，定理 2及推论的证明正是最
好的练习．构思这个证明，起点要高、思维跨度要大．这正是锻炼学生
思维，培养学生推理论证能力的绝对机会．我们认为：最好的习题就是
定理本身的推证过程．这里又是本节的一个难点，在此花点功夫、适当
展开是应当的；同时学生对用综合法证明不等式会有更深刻的体验．因
此讲透它比做几个练习更有意义．
对于几何证法、三角证法等基本不等式的证明方法，由于担心会冲
淡学生对综合法的认识，在本节中并未提及．
在课堂教学过程中，学生有可能直接证出定理 2的推论，这也无妨．
一般来讲，它同样是要用到两项的结论(定理 1或其推论)去证的．课上
应就学生的实际，顺其自然．
至于 n个正数的有关结论，根据教育部 98年颁布的《删减意见》对
此不作要求，故在本案中也未涉及．
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