原函数教案 1
教学目的
使学生理解原函数的概念．
教学重点和难点
原函数的定义和有关定理．
教学过程
一、提问
请学生填写下面的括号：
1．(x2) '=( )，(x2－1) '=( )，(x2＋7) '＝( )．
2．(sinx) '＝( )，(sinx＋x) '=( )，(sinx＋1) '＝( )．
然后，将等号左面的括号内的式子擦掉，再让同学填写，即填写下面的括号．
( ) '＝2x，( ) '=2x，( ) '＝2x，
( ) '=cosx，( ) '=1＋cosx，( ) '=cosx．
用数学命题来表示上面的问题．即求函数 F(x)，使得 F'(x)=2x或 cosx或 1＋cosx．
一般地说，已知 f(x)是定义在区间 L上的一个函数，求区间 L上的另一个函数 F(x)，使
得对 L上的任一点都有 F'(x)=f(x)成立．
二、新课
定义 设 f(x)是定义在区间 L上的一个函数，若存在函数 F(x)，在区间 L上任一点
x处都有
F'(x)＝f(x)，
则 F(x)叫做函数 f(x)在区间 L上的一个原函数．
由提问可知 f(x)=2x的原函数不止一个；f(x)=cosx的原函数也不止一个．
设 F(x)与G(x)都是函数 f(x)的原函数，则
F'(x)＝f(x)， G'(x)＝f(x)．
因而[F(x)－G(x)] '＝F'(x)－G'(x)＝f(x)－f(x)=0．这说明函数 F(x)－G(x)是区间 L上
导数处处为零的一个函数，即 F(x)－G(x)≡c(c为任一常数)，这又说明 F(x)＝G(x)＋
c，或G(x)=F(x)－c(提问学生这一等式说明什么问题)，由此归纳成一个定理：若函数
f(x)在区间 L上有一个原函数 F(x)．则其它原函数与 F(x)只差一个常数．(到此，让学生
打开课本，读课本上的定理，并引导学生分析定理中的语言．)
定理 设 F(x)是函数 f(x)在区间 L上的一个原函数，对于任意常数 c，则
(1)F(x)＋c也是 f(x)的原函数．
(2)f(x)在区间 L上任何一个原函数都可以表示成 F(x)＋c的形式．(强调(1)只解决
“是原函数”的问题，(2)才解决“都是”的问题．)
证明：(略)
三、模仿性练习
1．求下列函数 f(x)的所有原函数 F(x)
(1)f(x)=x2； (2)f(x)=sinx；
2．求下列函数 f(x)的所有原函数 F(x)．
(1)f(x)=x＋sinx；
(2)f(x)=x2＋x＋1；
原题中已有字母 c时，这常数可换成其它字母，此时应予注明为好．)
四、小结
让学生口述原函数定义和定理并强调证明的关键是什么？
五、布置作业
1．写出下面引理的证明过程．
若在区间 L上，函数H(x)的导函数H′(x)处处为零，则在区间 L上H(x)=c(c为常
数)．
2．填表．
3．下列各函数中，哪个是 lnx在(0，＋∞)上的一个原函数？为什么？
/1
