余弦定理教案 2
教学目的
1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．
2．使学生初步掌握余弦定理的应用．
教学重点与难点
教学重点是余弦定理及其应用；
教学难点是用解析法证明余弦定理．
教学过程设计
一、复习
师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：
(1)角的关系 A+B+C=180°．
A+B=90°．
(2)边的关系c2=a2+b2．
二、引入
师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不
变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．
如图1，若∠C＜90°时，由于AC与 BC的长度不变，所以AB的长
度变短，即c2＜a2+b2．
如图2，若∠C＞90°时，由于AC与 BC的长度不变，所以AB的长
度变长，即c2＞a2+b2．
经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到
底相差多少呢？请同学们继续思考．
如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于 D，BD把△ABC分成两个直
角三角形：
在Rt△ABD中，
AB2=AD2+BD2；
在Rt△BDC中，
BD=BC·sinC=asinC，
DC=BC·cosC=acosC．
所以，AB2=AD2+BD2化为
c2=(b－acosC)2+(asinC)2，
c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，
c2=a2+b2－2abcosC．
我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－
2abcosC的关系．
从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不
仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一
个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中
经常碰到．
下面请同学们自己动手推导结论．
如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
△ACB是两个直角三角形之差．
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．
在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．
BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．
所以AB2=AD2+BD2化为
c2=(AC+CD)2+BD2
=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2
=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)
=b2+2abcos(π－C)+a2．
因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．
这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－
2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．
从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都
满足
c2=a2+b2－2abcosC．
这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到
a2=b2+c2－2bccosA．
b2=c2+a2－2accosB．
三、证明余弦定理
师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还
给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个
直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证
明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，
无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和
两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．
我们仍就以∠C为主进行证明．
如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于
△ABC的 AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为
A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．
请同学们分析B点坐标是怎样得来的．
生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标
为(x，
师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？
生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2
=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C
=a2+b2－2abcosC，
即c2=a2+b2－2abcosC．
师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析
法．这种方法以后还要详细学习．
余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平
方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：
a2=b2+c2－2bccosA．
c2=a2+b2－2abcosC．
b2=a2+c2－2accosB．
若用三边表示角，余弦定理可以写为
四、余弦定理的作用
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
解 由余弦定理可知
Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA
所以BC=7．
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．
五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的
关系
在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是
c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．
说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形
中的锐角三角函数是余弦定理的特例．
六、应用举例
例 1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．
师：请同学们先做几分钟．
生甲：如图 6，作CD⊥AB于 D．
在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而
c=AD+DB，所以
c=bcosA+acosB．
师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．
生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．
若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．
师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是
否就完备了呢？
生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．
师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的
延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦
了．
请大家借用余弦定理证明．
生：因为 acosB+bcosA
所以 c=acosB+bcosA．
师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种
证法不用分类讨论吗？
生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．
例 2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．
师：我们通常求三角形的面积要用公式
这个题目，我们应该如何下手呢？
生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式
导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．
解 因为a=4，b=3，c=2，所以
由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得
例 3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求 AB边的中线长．
请同学们先设计解题方案．
生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，
由BC=7，BD=4.5及 cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．
师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．
解 设D为AB中点，连 CD．
在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得
生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线
CD到 E，使DE=CD，想在△BCE中解决．
已知BC=7，BE=AC=8，若再知道 cos∠CBE，便可解决，但我不知怎
样求 cos∠CBE．
师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．
(学生开始议论．)
生丙：连接 AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边
形，可得AC∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出
cos∠BCA，再利用互补关系解出cos∠CBE．
师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．
解 延长CD至E，使DE=CD．
因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以
BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．
在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得
在△CBE中，
这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要
的．
七、总结
本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明
我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示
第三边，另一种是三边表示角．
余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，
余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．
余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三
边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余
弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A为锐角；若cosA=0，则A为
直角；若cosA＜0，则A为钝角．
另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请
大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，
如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例 1等等．
八、作业
5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．
课堂教学设计说明
1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安
排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复
习定理内容，加强定理的应用．
2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，
引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注
意解的不唯一性．
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