任意角的三角函数
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．任意角三角函数定义．
2．三角函数定义域．
3．终边相同的角的同一三角函数值相等．
4．三角函数在各个象限的符号．
(二)能力训练点
1．理解并掌握任意角三角函数定义．
2．树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．
二、教学重点、难点及解决办法
1．教学重点：任意角的三角函数的定义；终边相同的角的同一三角函数值
相等．
2．教学难点：任意角的三角函数的定义
3．教学疑点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数；三角
函数定义域的确定．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习0°～360°的三角函数定义
师：在本章的第1节我们已经研究了0°～360°间的角的三角函数定义．
设0°≤α＜360°，如图2-11示，请说出sinα、cosα、tgα、ctgα的定义．
生：如图2-11示，设有一个角α，O≤α＜360°，以它的顶点作为原点，
以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在∠α终
的三角函数为：
(二)任意角的三角函数定义
师：我们可再将三角函数的概念推广到任意角的情形，如图2-12示，设α
是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点的坐标是P(x，y)，它与原点的
距离是r(r＞o)，则∠α的正弦，余弦、正切、余切分别是
有时我们还要用到下面两个三角函数
提问：对于确定的角α，这六个比值的大小和P点在角α的终边上的位置
是否有关系？
生：与在0°～360°的情形类似，利用三角形相似的知识，我们一样可以
得到结论：对于确定的角α，这六个比值的大小与P点在∠α的终边上位置无
关，只与角α的大小有关．
(三)三角函数是以实数为自变量的函数
师：如图2—13示，对于确定的角α、sinα、cosα、tgα、ctgα分别对应
的四个比值各是一个确定的实数．因此，正弦、余弦、正切、余切分别可看成从一
个角的集合到一个比值的集合的映射．它们都是以角为自变量，以比值为函数
值的函数，这些函数都叫做三角函数．
提问：引进了弧度制，请同学们思考能否将三角函数看成是以实数为自变
量的函数？
生：可以，引进弧度制后，我们就可在角的集合与实数集之间建立一一对
应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
师：非常正确！例如sin2，实数2就与2弧度的角对应，只是“弧度”二
字通常略去不写．这样多一个实数，对应着一个确定的角(其弧度数等于这个实
数)，而这个确定的角又对应着它的三角函数值(所取的实数应使相应的三角函
数有意义)，从而这个实数就对应着它的三角函数值，即：
实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)
(四)三角函数定义域
师：定义域是函数的三要素之一，请同学们根据任意角三角函数定义思考
六个三角函数的定义域，思考时要抓住的关键是当分母等于零时比值无意义，
什么情况下会使比值分母等于零呢？
而言α∈R．
落在x轴上，因此对ctgα而言α≠kπ，k∈Z．
Z；cscα的定义域是α≠kπ，k∈Z．请同学们课后继续思考(引导学生阅
读课本P．134三角函数定义域表，强调要特别注意正切函数和余切函数的定义
域)．
例1 已知角α的终边经过点P(-2，-3)，求α的六个三角函数值(如图
2—14示)．
解：∵x=-2，y=-3，
提问：若将P(-2，-3)改为P(-2a，-3a)，(a≠0)，求α的六个三角函数
值呢？(分 a＞0，a＜0两种情形讨论．)
例2 求下列各角的六个三角函数值．
解：(1)∵当α=π时，x=-r，y=0，
∴sinπ=0，cosπ=-1．
tgπ=0，ctgπ不存在，
secπ=-1，cscπ不存在．
(3)当α=2π时，x=r，y=0．
∴sin2π=0， cos2π=1．
tg2π=0， ctg2π不存在
sec2π=1， csc2π不存在．
(五)三角函数值的符号
师：今后我们还要经常用到三角函数值在各个象限的符号．由于从原点到
角的终边上任意一点的距离r总是正值，根据三角函数定义可知：三角函数值
符号取决于各象限内的坐标符号．请同学们分象限思考四个象限中三角函数值
的符号，请同学们思考如何讨论？
生甲：观察六个三角函数，可发现 sinα与cosα，cosα与secα，tgα
与ctgα互为倒数，因此它们的符号规律相同．
＞0，∴sinα、cscα是正的，而当α∈第三、四象限时， y＜ 0， r＞
0，∴sinα、cscα是负的．
第二、三象限的角是负的．
tgα＞0，ctgα＞0，而当α∈第二、四象限时，xy＜0，∴tgα＜
0，ctgα＜0．
师：现在我们将以上讨论结果整理成图2-15．
注意各限象注明的函数为正，其余为负．
(六)诱导公式一
师：上节课我们已学过同终边的角，例如390°和-330°都30°终边位置
相同，如图2-16所示，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°=sin30° cos390°=cos30°
sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°
推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数
的值相等．即：
sin(2kπ+α)=sinα； cosα(2kπ+α)=cosα；
tg(2kπ+α)=tgα； ctgα(2kπ+α)=ctgα；
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角
函数值问题．
例3 确定下列三角函数值符号：
例 5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-
1020°)sin750°+tg4950°．
解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-
3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．
=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°
(七)总结
本节课我们学习了任意角三角函数定义，三角函数的定义域，以及三角函
数值的符号，其中正确理解三角函数定义是前提．此外还学习了终边相同的角
的三角函数值相同，它的作用是将任意角的三角函数化为0～2π间角的三角函
数．
六、作业
P．147中习题十二1—7．
七、板书设计
八、参考资料
《高中数学精讲精练》(一)
《三点一测丛书》高一数学
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