0 0 类别 : 其他

必修1 基本初等函数及函数的应用 一、基本知识点： 1、指数式与对数式之间关系: log ( 0,b aa N N b a    且 1)a  在解决指数问题时常取对数,而解决对数 问题又常将它转化为指数问题,这种互化是数学解题的有力杠杆；几个公式要双向熟练运用： log log log ( )a a am n mn  ； log log loga a a mm n n  ； log log m a ab m b ； log logn m aa mb bn ； loglog log c a c bb a （换底公式） 2、指数函数 ( 0,xy a a  且 1)a  及对数函数 log ( 0,ay x a  且 1)a  的图象与性质； 3、幂函数 ,y x  是常数。掌握 11,2,3, , 12   的图象及性质； 4、指数、对数函数的性质是解指数、指数方程（或不等式）的依据．其中“化同底”是基本方法。 0 log 1a 和1 loga a 也是常用的转化。 5、函数方程：函数的零点，确定函数零点的方法和步骤，二分法。 6、函数应用：解应用题的方法步骤。 二、典型例题： 基础练习： 1、已知 1 3,a a  则 2 2a a  ， 3 3a a  。 2、在区间［3,5］上有零点的函数是（ ） A. 3)2ln(2)(  xxxf B. 53)( 3  xxxf C. 42)(  xxf D. 1( ) 2f x x   3、函数 )13lg(1 3)( 2  xx xxf 的定义域是（ ） A. ),3 1(  B. )1,3 1( C. )3 1,3 1( D. )3 1,(  4、如果 384,3  yx ，那么           3 7 1 n x yx 5、下列函数中是幂函数的是（ ） A. 2)2(  xy B. xy 1 C. 43xy D. xy 3 例 1：比较下列各组中三个值的大小: (１) 2 2 1 3 3 32.1 ,2.3 ,2.1 ;(２) 2.5 0.2 1.60.4 ,2 ,2  ；（3） 0.3 2 22 ,0.3 , log 0.3 1 例2：若 2log 13a  ，求a的取值范围． 例3：已知定义域为R 的函数 12( ) 2 x x bf x a    是奇函数。 （1）求 ,a b的值； （2）若对任意的 t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k 的取值范围。 例4：已知函数 2 2( ) lg[( 1) ( 1) 1]f x a x a x     . （1） 若 ( )f x 的定义域为  ,  ，求实数a的取值范围； （2） 若 ( )f x 的值域为  ,  ，求实数a的取值范围。 2 例5：某商品在近30天内每件的销售价格 p （元）和时间 t （天）的函数关系为： *,)3025(100 )250(20 Nttt ttp      ， 设商品的日销售量Q（件）与时间 t （天）的函数关系为 ),300(40 *NtttQ  ，求这种商品的日 销售金额的最大值，并指出日销售金额的最大是第几天。 配套练习 1、 已知 1 12 2 5x x  ，则 2 1x x  的值为（ ） A、5　　　　　B、23　　　　C、25　　　　D、27 2、函数 2logy x 的定义域是（ ） 　 A、 (0,1］　　　　　B、 (0,+∞)　　　　C、 (1,+∞)　　　　D、［1,+∞) 3 3、已知集合    23 , log 1M x x N x x    ，则M N I （ ） A、 　　B、 0 3x x  C、 1 3x x  　D、 2 3x x  4、函数 ( )y f x 的图像与函数 2( ) log ( 0)g x x x  的图像关于原点对称，则 ( )f x 的表达式为（ ） A、 2 1( ) ( 0)logf x xx  　　　　B、 2 1( ) ( 0)log ( )f x xx  C、 2( ) log ( 0)f x x x   　　　 D、 2( ) log ( )( 0)f x x x    5、设 2( ) lg 2 xf x x   ，则 2( ) ( )2 xf f x 的定义域为（ ） A、    4,0 0,4 U B、    4, 1 1, 4  U C、    2, 1 1,2  U D、    4, 2 2,4  U 6、设 1 2 3 2 , 2( ) log ( 1), 2 xe xf x x x      ，则不等式 ( ) 2f x  的解集为（ ） A、    1,2 3,U B、  10, C、    1,2 10,U D、  1,2 7、方程 3 1 0x x   的一个正零点的存在区间可能是( ) A、  0,1 B、  1, 2 C、  2,3 D、  3,4 8、如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟注完。已知圆柱中液面上 升的速度是一个常数，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下降时间x（分钟）的函数关系用图象表示只 可能是( ) 9、方程 )4(log2 2  xx 有　　　　　　　　　　　　　　 　（　　） A．两个正根　　B.两个负根 C.一个正根、一个负根 D.没有实数根 4 10．已知函数 log (2 )ay ax  在区间[0 1]，上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） )1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ),2.( D 11、不等式 2 81 3 x     ＞ 23 x－ 的解集是____________；不等式 22log ( 6) 3x x   的解集为___________。 12、设 0, 1a a  ，函数 2( ) log ( 2 3)af x x x   有最小值，则不等式 log ( 1) 0a x   的解集为_________。 13、幂函数 322 2)1(  mmxmmy ，当 ),0( x 时为减函数，则实数 m 14、给出下列函数：①函数 ( 0, 1)xy a a a   与函数 log ( 0, 1)xay a a a   的定义域相同； ②函数 3y x 与 3xy  的值域相同；③函数 1 12 2 1xy    与 2(1 2 ) 2 x xy x   均是奇函数； ④函数 2( 1)y x  与 2 1y x  在（0，+∞）上都是增函数。 其中正确命题的序号是_______________。 15、化简或计算： （1） 52 9 3 23 2 10)10()8(  （2） 3 32 b a a b b a （3） 50lg50lg4lg2lg 22  （4） 7log1 5.0)2 1(  16、已知函数 1 1log)( 2   x mxxf 是奇函数。 (1)试求m 的值;(2)根据m 的值判断 )(xf 的单调区间，并证明你的结论。 5 17、在函数 )1,1(log  xaxy a 的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m 、 2m 、 4m ，若 △ABC的面积为 S，写出函数 )(mfS  的解析式. 18、如图，二次函数 2 4y mx m   的顶点坐标  0,2 ，矩形ABCD的顶点B、C在x轴 上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与 x轴所围成的封闭图形内。 （1）求二次函数的解析式； （2）设点 A的坐标为  ,x y ，试求矩形 ABCD的周长 P关于自变量 x的函数解析式，并 求出自变量 x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为3？试证明你的结论。 必修1 基本初等函数及函数的应用 一、基本知识点： 1、指数式与对数式之间关系: log ( 0,b aa N N b a    且 1)a  在解决指数问题时常取对数,而解决对数 问题又常将它转化为指数问题,这种互化是数学解题的有力杠杆；几个公式要双向熟练运用： log log log ( )a a am n mn  ； log log loga a a mm n n  ； log log m a ab m b ； log logn m aa mb bn ； loglog log c a c bb a （换底公式） 2、指数函数 ( 0,xy a a  且 1)a  及对数函数 log ( 0,ay x a  且 1)a  的图象与性质； 3、幂函数 ,y x  是常数。掌握 11,2,3, , 12   的图象及性质； 4、指数、对数函数的性质是解指数、指数方程（或不等式）的依据．其中“化同底”是基本方法。 0 log 1a 和1 loga a 也是常用的转化。 5、函数方程：函数的零点，确定函数零点的方法和步骤，二分法。 6、函数应用：解应用题的方法步骤。 二、典型例题： 6 基础练习： 1、已知 1 3,a a  则 2 2a a  7 ， 3 3a a  18 。 2、在区间［3,5］上有零点的函数是（ A ） A. 3)2ln(2)(  xxxf B. 53)( 3  xxxf C. 42)(  xxf D. 21)(  xxf 3、函数 )13lg(1 3)( 2  xx xxf 的定义域是（ B ） A. ),3 1(  B. )1,3 1( C. )3 1,3 1( D. )3 1,(  4、如果 384,3  yx ，那么           3 7 1 n x yx 33 2n 5、下列函数中是幂函数的是（ C） A. 2)2(  xy B. xy 1 C. 43xy D. xy 3 例 1．比较下列各组中三个值的大小: (１) 2 2 1 3 3 32.1 ,2.3 ,2.1 ;(２) 2.5 0.2 1.60.4 ,2 ,2  ；（3） 0.3 2 22 ,0.3 , log 0.3 解：（1） 1 2 2 3 3 32.1 2.1 2.3  ；（2） 0.2 1.6 2.52 2 0.4   ；（3） 2 0.32log 0.3 0.3 2  例2：若 2log 13a  ，求a的取值范围． 解： 1a  ，或 20 3a  例3：已知定义域为R 的函数 12( ) 2 x x bf x a    是奇函数。 （1）求 ,a b的值； （2）若对任意的 t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k 的取值范围。 解：（1）由 (0) 0f  得 1b  ，由 ( ) ( )f x f x   ， 得 12 2 2x xa a     对于 x R 成立，得 2a  1, 2b a   （2） 1 2 1 1 1( ) 2 2 2 1 2 x x xf x      是在R 上的减函数，由 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    得 2 2 2 2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 ) 2 2 3 2 0f t t f t k f k t t t k t t t k              对任意的 7 t R ，不等式恒成立， 4 12 0,k    13k   例4：已知函数 2 2( ) lg[( 1) ( 1) 1]f x a x a x     . （1）若 ( )f x 的定义域为  ,  ，求实数a的取值范围； （2）若 ( )f x 的值域为  ,  ，求实数a的取值范围。 解：（1）依题意 2 2( 1) ( 1) 1 0a x a x     对一切 x R 恒成立，等价于 2 1 0 0 a     或 1a   ，解得 1,a   或 53a  （2）依题意，只要 2 2( 1) ( 1) 1t a x a x     能取到  0, 的任何值，则 ( )f x 的值域为  ,  ， 由 2 1 0 0 a     或 1a  ，得 51 3a  例5：某商品在近30天内每件的销售价格 p （元）和时间 t （天）的函数关系为： *,)3025(100 )250(20 Nttt ttp      ， 设商品的日销售量Q（件）与时间 t （天）的函数关系为 ),300(40 *NtttQ  ，求这种商品的日 销售金额的最大值，并指出日销售金额的最大是第几天。 解：设日销售金额为 y （元），则 pQy  ， *2 2 ,)3025(4000140 )250(80020 Ntttt ttty      （1） 当 *,250 Ntt  时， 900)10( 2  ty ，故当 10t 时， 900max y （2） 当 *,3025 Ntt  时， 900)70( 2  ty ，故当 25t 时， 1125max y 综合（1）（2），当 25t 时， 1125max y 配套练习 8 2、 已知 1 12 2 5x x  ，则 2 1x x  的值为（ B ） A、5　　　　　B、23　　　　C、25　　　　D、27 2、函数 2logy x 的定义域是（ D ） 　 A、 (0,1］　　　　　B、 (0,+∞)　　　　C、 (1,+∞)　　　　D、［1,+∞) 3、已知集合    23 , log 1M x x N x x    ，则M N I （ D ） A、 　　B、 0 3x x  C、 1 3x x  　D、 2 3x x  4、函数 ( )y f x 的图像与函数 2( ) log ( 0)g x x x  的图像关于原点对称，则 ( )f x 的表达式为（D ） A、 2 1( ) ( 0)logf x xx  　　　　B、 2 1( ) ( 0)log ( )f x xx  C、 2( ) log ( 0)f x x x   　　　 D、 2( ) log ( )( 0)f x x x    5、设 2( ) lg 2 xf x x   ，则 2( ) ( )2 xf f x 的定义域为（B ） A、    4,0 0,4 U B、    4, 1 1, 4  U C、    2, 1 1,2  U D、    4, 2 2,4  U 6、设 1 2 3 2 , 2( ) log ( 1), 2 xe xf x x x      ，则不等式 ( ) 2f x  的解集为（C ） A、    1,2 3,U B、  10, C、    1,2 10,U D、  1,2 7．方程 3 1 0x x   的一个正零点的存在区间可能是( B ) A．  0,1 B．  1, 2 C．  2,3 D．  3,4 8、如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟注完。已知圆柱中液面上 升的速度是一个常数，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下降时间x（分钟）的函数关系用图象表示只 可能是( D ) 9 9、方程 )4(log2 2  xx 有　　　　　　　　　　　　　　 　（　C　） A．两个正根　　B.两个负根 C.一个正根、一个负根 D.没有实数根 10．已知函数 log (2 )ay ax  在区间[0 1]，上是减函数，则实数a的取值范围是（ B ） )1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ),2.( D 11、不等式 2 81 3 x     ＞ 23 x－ 的解集是  2,4 ；不等式 22log ( 6) 3x x   的解集为  1,2 12、设 0, 1a a  ，函数 2( ) log ( 2 3)af x x x   有最小值，则不等式 log ( 1) 0a x   的解集为  2, 13、幂函数 322 2)1(  mmxmmy ，当 ),0( x 时为减函数，则实数 m 2 14、给出下列函数：①函数 ( 0, 1)xy a a a   与函数 log ( 0, 1)xay a a a   的定义域相同； ②函数 3y x 与 3xy  的值域相同；③函数 1 12 2 1xy    与 2(1 2 ) 2 x xy x   均是奇函数； ④函数 2( 1)y x  与 2 1y x  在（0，+∞）上都是增函数。其中正确命题的序号是 ①③ 15、化简或计算： （1） 52 9 3 23 2 10)10()8(  102 （2） 3 32 b a a b b a 7 71 a bb （3） 50lg50lg4lg2lg 22  4 （4） 7log1 5.0)2 1(  14 16、已知函数 1 1log)( 2   x mxxf 是奇函数。 (1)试求m 的值;(2)根据m 的值判断 )(xf 的单调区间，并证明你的结论。 解：(1)∵ 1 1log)( 2   x mxxf 为奇函数，∴ )()( xfxf  ∴ mx x x mx x mx     1 1log1 1log1 1log 222 ∴1 11 1 mx x x mx      2 2 21 1m x x    2 1m   1m 或 1m 1m 时， )(xf 无意义，∴ 1m 1 1log)( 2   x xxf 10 由 1 1   x x ＞0，解得 )(xf 的定义域为 ),1()1,(  (2)任取1＜ 1x ＜ 2x ，由 1 1log)( 2   x xxf )1 21(log2  x ，得 )1 21(log)( 1 21  xxf , )1 21(log)( 2 22  xxf 2 1 1 2 1 2 2( )2 2(1 ) (1 )1 1 ( 1)( 1) x x x x x x       Q ∵1＜ 1x ＜ 2x ，∴ )1( 1 x ＞0， )1( 2 x ＞0， )( 12 xx  ＞0 ∴ 1 21 1   x ＞ 1 21 2   x ＞0 ∴ )( 1xf ＞ )( 2xf ∴ )(xf 在 ),1(  上为单调减函数。又 )(xf 为奇函数，∴ )(xf 在 )1,(  上也为单调减函数。 17、在函数 )1,1(log  xaxy a 的图象上有A、B、C三点，它们的横坐 标分别为 m 、 2m 、 4m ，若△ ABC 的面积为 S，写出函数 )(mfS  的解析式. 解：设A、B、C在 x 轴上的射影分别为A1、B2、C1， CCAACCBBBBAA SSSmfS 111111)( 梯形梯形梯形  )]4(log)2([log)]2(log[log  mmmm aaaa 2( 2)2[log log ( 4)] log ( 1)( 4)a a a mm m mm m      18、如图，二次函数 2 4y mx m   的顶点坐标（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x 轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的封闭图形内。 （1）求二次函数的解析式； （2）设点 A的坐标为（x，y），试求矩形 ABCD 的周长 P关于自变量 x的函数解析式， 并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为3？试证明你的结论。 解：（1）由题意得 14 2, 2m m   21 22y x    (2)由 21 22y x   得 2x   ，点A的坐标为  ,x y 0<x<2 22 4 4 4(0 2)P y x x x x         （3）假设存在这样的矩形，则 3P  11 2 4 1 0,x x   解之得： 2 5 0 2,x x    Q 不存在 12