0 0 类别 : 课件

2017年4月27日 北大附中深圳南山分校 高三数学组 倪 杰 2006年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学 (B卷 ) 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将 自己的姓名和考生号写在答题卡上，用 2B 铅笔把答 题卡试卷类型（ B “）涂黑．在答题卡右上角的 试室 ”号 栏填写本科试室号，再把座位号列表填写上位号 ，用 2B 铅笔把将相应的信息点填涂，不按要求填涂 的，答卷无效。 2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选其它答案，答案不能答在试题卷上． 3. 非选择题必用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答 案必须写在答题卡上个题目的指定区间内的相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的 答卷无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试 卷和答题卡一并交回。 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 4 3 1 ( 1)(2 1)6 n n n  参考公式： 如果事件 A、 B互斥，那么 P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)； 如果事件 A、 B相互独立，那么 P(A·B)＝ P(A)·P(B)； 球的表面积公式： S=4πR2，其中 R 表示球的半径 ； 球的体积积公式： V= πr3；其中 R表示球的半径； 数列 {n2} 的前项和公式 12+22+32+…+n2= 北大附中深圳南山分 校 一．选择题：本大题共 10小题；每小题 5分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 23( ) lg(3 1)1 xf x xx   1( , )3  1( ,1)3 1 1( , )3 3 1( , )3  1.函数的定义域是 A． B. C. D. 2 2 2 2 2 2i 2 2i 2．若复数 z满足 z2+2=0,　则 z3=　　　　　　　　　 　　 A． B. C. D.　 1( )2 xy  3. 关于下列函数中，在其定义域内是奇函数又是减函 数 的是 (其中 x R) ∈ A.y=-x3 B.y=sinx C.y=x D. 第一部分 (选择题，共 50分 ) B D A 1 0 1 13 1 0 3 x xx         2 32 0 2 2 2z z i z i        B在其定义域内是奇函数但不是减函数 ;C在其定义域内既是 奇函数又是增函数 ;D在其定义域内不是奇函数 ,是减函数 1 2BC BA  uuur uuur 1 2BC BA  uuur uuur 1 2BC BA uuur uuur 1 2BC BA uuur uuur 4. 如图 1 所示， D 是△ ABC 的边 AB 上的中点，则向 量 CD= A. B. C. D. 图 1 A B C D 5 ．给出下列四个命题： ① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行 . ② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线垂直于这个平面 . ③ 如果两条直线都平行于同一个一个平面，那么这 条直线互相平行 . ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直 . 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 A B 1 2CD CB BD BC BA     uuur uuur uuur uuur uuur 6.已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为 15， 偶数项 之和为 30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 7. 函数 y=f(x) 的反函数 y=f-1(x) 的图像与 y 轴交于点 P （ 0 ， 2 ） ( 如图 2 所示）则方程在 [1 ， 4] 上 的根 x= A. 4 B.3 C.2 D.1 2 2 33 8.已知双曲线 3x2-y2=9，则双曲线右支上的点 P到右 焦点的距离与 P到右准线的距离之比等于 A. B. C.2 D.4 C C C 1 3 5 7 9 1 2 4 6 8 10 1 15 5 20 15 5 15 3.30 5 25 30 a a a a a a d d da a a a a a d                   或 f(x)=0的根是 2，故选 C. 2 2 2 33, 3 9 2 3, 2.3 ca c a b e a         依题意可知 图 2 -1 1 3 4 2 y x y=f - 1(x) O 3P D9. 在约束条件 下 , 0 0 2 4 x y y x s y x      则 3≤s≤5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值变化范围是 A.[16 ， 25] B. [7 ， 15] C. [6 ， 8] 　 D. [7 ， 8] 图 3 y x y+2x=4 O y+x=s 4 2 4 2 4 x y s x s y x y s          由 (2,0), (4 ,2 4), (0, ), (0, 4)A B s s C s C 交点为 (1)当 3≤s<4时 ,可行域是四边形 OABC，此时 ,7≤z <8. （ 2)当 4≤s ≤5时 ,可行域是△ OAC′ ,此时， zmax = 8 综上可知， 7≤z ≤ 8 ，故选 D. A C′ C B 抓分界线 :y+x=3 与 y+x=5, 研究 z=3x+2y 的最大值情况 .     10. 对于任意的两个实数对（ a,b ）和 (c,d), 规定：（ a,b ） =(c,d), 当且仅当 a=c,b=d, “ ” 运算 为 : （ a,b ） (c,d) = （ ac-bd,bc+ad ） , “ ” 运算 为 : （ a,b ） (c,d) =(a+c,b+d). 若 p,q∈R ，（ 1 ， 2 ） （ p,q ） =(5,0), 则（ 1 ， 2 ） （ p,q ） = A. （ 4 ， 0 ） B. （ 2 ， 0 ） C. （ 0 ， 2 ） D. （ 0 ， -4 ）  B 2 5 1(1,2) ( , ) (5,0) 2 0 2 p q pp q p q q             ， (1, 2) ( , ) (1,2) (1, 2) (2,0)p q     故选 B. 为胜利而欢呼、跳跃！ 第Ⅱ部分非选择题（共 100分 ) 二． 填空题：本大题共 4小题；每小题 5分，共 20 分． 22 4 111. lim ( ) ____ .4 2n x x    12.若棱长为 3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球 的表面积 ______. 112( )x x13. 在 的展开式中， x 5的系数为 . 1 4 27π -1310 22 2 4 1 1 1lim( ) lim .4 2 2 4x xx x x      23 32 3 3 4 27 .2d R R S R        11 11 11 11 2 11 1 11 11 2( ) ( 2) 2 11 5 8r r r r r rrT C x C x r rx                ， 11 11 3 3 11 11( 2) ( 2) 1320.r rC C     所以 x5的系数为 2R 14．在德国的不莱梅举行的第 48届世乒赛期间，某商场 “ ”橱窗里用同样的乒乓球对成若干堆 正三锥 形的展品， 其中第一堆只有一层，就一个球，第 2， 3， 4 …， ，堆的 最底层（第一层）分别按图 4所示方式固定排法，从第二 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表示 n堆的乒乓球的总数则 f(3)= ； f(n)______________ (答案用 n表示 ) 1 ( 1)( 2)6 n n n 10 2 2 21 ( 1)( 2)( ) [(1 2 ... ) (1 2 ... )] .2 6 n n nf n n n           f (3) 10;  图 4 第 n堆 an= ( 1) .2 n n  或 f(n)=1+3+6+10+…+Cn+12 3 1 ( 1)( 2) .6n n n nC     三．解答题：本大题 6小题，共 80分．解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤． 2  3 4 15． (本小题满分 14分 ) 已知函数 f(x)=sinx+sin(x+ ), x∈R,（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f(x) 的最大值和最小值；（Ⅲ）若 f(a)= 时，求 sin2a 值 . 2 21T    ( ) sin sin( ) sin cos 2 sin( )2 4f x x x x x x        解： （Ⅰ） f(x)的最小正周期为 3( ) 4f   （Ⅲ）因为 , 7sin 2 16   即 3 7sin cos 2sin cos4 16       即 ( ) Ⅱ 当 sin(x+　 )=1,即 x=2k+　 (k z)∈ 时， f(x)的最大值为4  24  3 4 当 sin(x+　 )=－ 1,即 x=2k－　 (k z)∈ 时， f(x)的最小值为4  2 16 ． (本小题满分 12分 ) 某运动员射击一次所得环数 X的分布列如下 ： X 0－ 6 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数 作为 他的成绩，记为 ξ， ( )Ⅰ 求运动员两次命中 7环的概 率； ( )Ⅱ 求 ξ的分布列；（Ⅲ）求 ξ的数学期望 .解： ( )Ⅰ 求该运动员两次都命中 7环的概率为 : P（ 7） =0.2×0.2=0.04； ( )ξⅡ 的可能取值为 7、 8、 9、 10 P（ ξ=7） =0.2×0.2=0.04 P（ ξ=8） =2×0.2×0.3 ＋ 0.32=0.21 P（ ξ=9） =2×0.2×0.3 ＋ 2×0.3×0.3 ＋ 0.32=0.39 P（ ξ=10） =2×0.2×0.2 ＋ 2×0.3×0.2 ＋ 2×0.3×0.2 ＋ 0.22=0.36 ξ分布列为 : ξ 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 ( ) ξⅢ 的数学希望为： Eξ =7×0.04 ＋ 8×0.21 ＋ 9×0.39 ＋ 10×0.36=9.0717 ． (本小题满分 14分 )如图 5所示， AF、 DE分 别是⊙ O，⊙ O1的直径， AD与两圆所在的平面垂 直， AD=8， BC是⊙ O的直径， AB=AC=6, OE//AD, ( ) Ⅰ 求二面角 B－ AD－ F的大小； ( ) Ⅱ 求直线 BD与 EF所成的角 . A B F C D E O 1 0 解： ( )Ⅰ ∵AD与两圆所在的平面均垂 直 , AD AB, AD AF,∴ ⊥ ⊥ 故∠ BAF是二面角 B—AD—F的平面 角，依题意可知， ABCD是正方形， 所以∠ BAD＝ 450. 即二面角 B—AD—F的大小为 450. 图 5 A B F C D E O1 0 x z y ( )Ⅱ 以 O为原点， BC、 AF、 OE所 在 直线为坐标轴，建立空间直角坐标 系 （如图所示）， 3 2 则 O（ 0， 0， 0） , A（ 0 ， ， 0 ） B （ ， 0， 0） , D （ 0 ， ， 8 ） E（ 0， 0， 8), F（ 0 ， ， 0） ， 3 2 3 2 3 2 ( 3 2, 3 2,8), (0, 3 2,8)BD FE    uuur uuur所以， 0 18 64 82cos , 10| || | 100 82 BD FEBD EF BD FE       uuur uuuruuur uuur uuur uuur ， 设异面直线 BD与 EF所成角为 α则 82cos | cos BD,EF | .10     uuur uur 直线 BD与 EF所成的角为 82arccos 10 或用平行移动法如 图 3 2, 82OB DO  在 Rt DBO△ 中 ,DB=10 向量法与传统法皆 可 3 41arctan .41  18. （本题满分 14分）设函数 f(x)=x3+3x+2分别在 x1,x2 处取得极小值，极大值， xoy平面上点 A， B坐 标分别为（ x1 ,f (x1)） , （ x2 ,f (x2)） ,该平面动点 P 满足 PA·PB=4，点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称 点，求： ( ) Ⅰ 点 A， B坐标； ( ) Ⅱ 动点 Q的轨迹方程 .解 : ( )Ⅰ 令 f′(x)=(－ x3+3x+2)′=－ 3x2+3=0 解得 x=1或 x=－ 1 当 x< － 1 时 , f′(x)<0, 当－ 1<x<1 时 , f′(x)>0 , 当 x>1时 , f′(x)<0 所以 ,函数在 x=－ 1处取得极小值 ,在 x=1取得极 大值 , 故 x1=－ 1, x2=1,f(－ 1)=0, ,f(1)=4, 所以 , 点 A、 B的坐标为 A(－ 1,0),B(1,4). 导数在解析几何中的应 用 故⊙ C 的方程是 (x － 8)2+ (y+2)2=9. 记为⊙ C，设 C(a,b), 由对称性可 得 2 1 82 22 2 42 2 b aa bb a            （） 即动点 Q 的轨迹方程为： (x － 8)2+ (y+2)2=9. ( ) Ⅱ 设 P(m,n),则     2 21 , 1 ,4 4 1 4PA P m n nB m n m n          uuur uuur 向量坐标化是问题转化的关 键 ! 即： m2+(n-2)2=9 所以动点 P的轨迹是圆 x2+(y-2)2=9, 其圆心为 (0,2),半 径为 3.所以点 Q的轨迹是圆 x2+(y-2)2=9关于直线 y=2(x-4)的 对称圆 . lim nmx S n 81 5 19. （本题满分 14分）已知已知公比为 q（ 0<q<1） 的等比数列 {an}各项和为 9，无穷等比数列 {an2}各项 和为 （ I）求数列 {an}的首项 a1和公比 q ； （ II）对给定 的 k（ 1， 2 …， .n） ,设 T(k) 是首项为 ak，公比为 2ak-1的等差数列，求数列 T(2)的前 10项之和 .（Ⅲ） 设 bi为数列的第 i 项， Sn= b1 +b2 +…+ bn , 求 Sn ，并求正整数 m(m>1), 使得 存在且不等于零 .注 :无穷等比数列各项和即当 n→∞时该无穷等比数列前 n项和的极限 解 : ( )Ⅰ 依题意可知 1 1 2 1 2 9 31 281 31 5 a aq qa q           123 ( )3 n na  ( )Ⅱ 由 ( )Ⅰ 知 所以数列 T(2)的的首项为 t1=a2=2，公差 d=2 a2－ 1=3, 10 110 2 10 9 3 155.2S       即数列 T(2)的前 10项之和为 155.            1 ( ) 1 2 1 2 1 1 23 2 1 ( ) 13 i i i i i b a i a i a i i i             Ⅲ 又 Sn= b1 +b2 +…+ bn 2 3 12 2 2 2 ( 1)3[1 3 5 ( ) 7 ( ) ... (2 1) ( ) ]3 3 3 3 2 n n nn              2 3 12 2 2 23[1 3 5 ( ) 7 ( ) ... (2 1) ( ) ]3 3 3 3 [0 1 2 ... ( 1)] nn n                  2 3 12 2 2 21 3 5 ( ) 7 ( ) ... (2 1) ( )3 3 3 3 nt n           令 ① 2 3 12 2 2 2 2 21 3 ( ) 5 ( ) ... (2 3) ( ) ( 1)( )3 3 3 3 3 3 n nt n n           则 ②  145 18 27 2lim lim ( ) ,3 2nnm m m mn n n nS n n n n n     1lim 2 n mn S n   lim 0 n mn S n 当 m=2时， ；当 m>2时， 所以 m=2 ，使得 存在且不等于零 .lim nn S m    12 215 3(2 5)( ) , 45 18 27 ( ) .3 3 2n nn n nt n S n        2 3 1 1 1 2 2 2 2 21 2[ ( ) ( ) ... ( ) ] (2 1)( )3 3 3 3 3 32 2[1 ( ) ] 2 23 31 2 (2 1)( ) 5 (2 5) ( )2 3 31 3 n n n n n t n n n                      以上①、 ②两式相减，得 lim nmn S n因为正整数 m>1 时，且 存在， 　╱◥███ ◣ ︱田︱田 田 ︱ 3(2 ) 1 2 , [1,2]x x x    ， 3 3 3 33 (2 ) 5 1 3 5 2x     ，， 解： （ I）对任意 x [1,2],∈ 所以 φ（ 2x)∈（ 1,2）， 1 2 1| | | | .1 k k p k Lx x x xL      3 1 x 20．（本题满分 12分） A是定义在 [2， 4]上且满足 如下条件的函数 φ（ x）组成的集合 ,① 对任意的 x∈[1， 2]有 φ（ 2x）∈（ 1， 2）；②存在常数 L（ 0<L<1） , 使 得对于任意的 x1,x2 [1∈ ， 2], 都有 |φ(2x1) － φ(2x2)|≤L| x1 － x2| （ I）设 φ（ x） = , x [2∈ ， 4],证明 :φ（ x） ∈ A； （ II)设 φ（ x）∈ A，如果存在 x0∈（ 1， 2），使 得 x0 = φ（ 2x0）则这样 x0的是唯一的； （ III)设 φ（ x）∈ A, 任取 xn∈（ 1， 2） ,令 n=1,2,…., 证明：给定正数 k，对任意正数 p 成立不 等式 1 (2 )n nx x  对任意的 x1, x2 [1,2]∈ ，        1 2 1 2 223 3 31 1 2 2 2| (2 ) (2 ) | | | 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x                  23 3 31 1 2 2< 1 2 1 2 1 1 <9x x x x     而6，         223 3 31 1 2 2 2 2 1 ,9 31 2 1 2 1 1x x x x         所以，         223 3 31 1 2 2 2 L 0 1 1 2 1 2 1 1 L x x x x          令，（） 1 2 1 2| (2 ) (2 ) | | |x x L x x   使得 所以 φ（ x) A.∈ ( ) Ⅱ (反证法 ) 设存在两个 x1， x2∈（ 1， 2）， x1≠x2 使得 x1=φ（ 2x1), x2==φ（ 2x2)，因为 φ（ x) A∈ ， 1 2 1 2 1 2 1 2| (2 ) (2 ) | | | | | | |x x L x x x x L x x       1 2则由|x -x |= ， 所以 L≥1这与题设 0<L<1矛盾，故假设不存在原结论正确 . 1 1 1 1 22 2 1 2 2 3 3 1 2 3 2 1 (2 ) (2 ) | (2 ) (2 ) | (2 ) (2 ) ...... ( 1). n n n n n n n n n n n n n n n x x x x L x x L x x L x x L x x L x x L x x L                                 其中0< 1 1 2 1 n n nx x L x x   所以，      1 1 2 1| |k p k k p k p k p k p k kx x x x x x x x              L 1 1 2 1k p k p k p k p k kx x x x x x            L ， 2 3 1 2 1 2 1 2 1...k p k p kL x x L x x L x x           ， （Ⅲ）因为 φ (x) A,∈ 任取 x1 ∈（ 1， 2） ,且 xn+1= φ(2xn) n=1,2,3… 2 3 1 2 1 2 1 2 1( ... )k p k p kL L L x x x x x x            k-1 p k-1L (1-L ) L= ，1-L 1-L 故给定正数 k，对任意正数 p 上面不等式均成立 .