0 0 类别 : 教案

棱锥的概念和性质教案 教学目的 1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力； 2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及 空间问题向平面转化的能力． 教学重点和难点 教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形． 教学设计过程 师：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一 想，其侧面、侧棱有何变化？ （将金字塔、帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生） 师：（学生观察后）我们将现实生活中的实例抽象成数学模型，就得到新 的几何体棱锥． （板书课题） 师：你们能描述一下棱锥的本质特征吗？ （提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述） 生：底面可以是任意多边形，侧面必须是三角形． 师：这些三角形必须有共同的什么呢？ 生：有一个公共顶点． 师：（小结）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥． （这样由观察具体事物，经过积极思维，然后抽象出事物的本质属性，形 成概念，是培养能力，提高效果的好办法） 师：请同学们看图1． （可做成覆盖片，依次介绍棱锥各部分名称及表示法） 表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC． 师：与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数 分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥． （由于本节重点是解决正棱锥的性质问题，故对 棱锥的表示法及其分类宜简不宜繁） 师：由于在实际中遇到的往往是一种特殊的棱 锥——正棱锥，它的性质用处较多，所以下面重点研 究正棱锥的概念及性质． 师：对比正棱柱定义能描述一下正棱锥吗？ （类比是重要的数学方法之一） 生：底面是正多边形的棱锥． 师：对吗？思考一下，棱柱定义在补充几点后才是正棱柱．（学生议论后 回答） 生：应该是底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥才 是正棱锥． 师：很好！以上两条是缺一不可的．即由顶点向底面作垂线，垂足必为底 面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥． （可拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认，根据定义指出哪一个是正棱 锥） 师：正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的 本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．下面我们以正五棱锥为例，你能说出 其侧棱、各侧面有何性质吗？ （将图2出示给学生） 生：各侧棱相等、各侧面都是全等的等腰三角形． 师：为什么？ 生：可通过全等三角形得证．（口答证明） 证明：连结 OA，OB．因为正棱锥S-AC，SO为高，所以 OA=OB，∠SOA=∠SOB=90°，SO=SO，所以△SAO≌△SBO．所以SA=SB．故△SAB 为等腰三角形．其它同理可证． 师：很好！若我们把等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高．请在图2中 作出两条斜高． 生：作SF⊥BC于 F，SG⊥AE于 G两条斜高，也可取 BC的中点 F，连结SF． 师：那么斜高有什么性质呢？ 生：斜高相等． 师：想一想，正棱锥的高与斜高有何区别？ 生：高是顶点到底面的距离，而斜高是顶点到底边的距离． 师：再联系一下垂线段、斜线段的有关知识呢？ 生：高是顶点到底面的垂线段，斜高是顶点到底面的斜线段． 师：所以它们之间的大小关系如何呢？ 生：恒有高小于斜高． 师：对于一般棱锥其侧面不是等腰三角形，棱锥的高是指顶点到底面的距 离，垂足是可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外的．我们刚才所得到 的性质都是对正棱锥而言的．下面我们来研究如何利用这些性质解决具体问题． 师：请同学们看例一．（板书） 已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2． 求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧棱与底面所成的角； （4）侧面与底面所成的角． 师：根据题目，需要画正四棱锥的直观图，画图的步骤是：先画平行四边 形，找中心，画高线，最后连侧棱．（图 3） （正四棱锥的直观图的画法下节才讲，本节课只要求学生按以上四步完成 即可，教师边说边画） 师：这道题让我们求哪些量？ 生：侧棱、高这两条线段的长及两个角． 师：其实就是求距离及角，是两个什么样的角呢？ 生：一个是线面角，一个是面面角． 师：你们准备怎样求？ 生：先把已知量和未知量在图形中找到，再想办法把它们联系起来，利用 正棱锥的有关性质解题． （稍停后，学生口述，教师板书） 生甲：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取 BC的中点 M，连结 SM，OM．因为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在 Rt△SMB中， 生丙：因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在 生丁：因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所 =60°． （解题中用到的每一直角三角形在图 3中用彩笔描出） 师：此例中几个提问都显示了直角三角形在解决正棱锥计算问题中的作用． 观察图 3中彩色部分，有几个直角三角形？ 生：4个． 师：哪4个． 生：Rt△SMB，Rt△SOM，Rt△SOB，Rt△OBM． 师：再观察一下这 4个直角三角形围成了一个什么新的几何体？ 生：一个小三棱锥． 师：推广到一般正棱锥中，都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图 形，是正棱锥的关键部分，一般的棱锥也有类似的关键部分．那么这个小三棱 锥涉及到了正棱锥的哪几个量呢？ （将图 3做成抽拉片，把彩色部分抽拉出来，让学生看起来更直观，逐一 回答） 生：Rt△SBO的三边分别是正棱锥的高、侧棱、底面正多边形的半径． 生：Rt△SMO的三边分别是正棱锥的高、斜高、底面正多边形的边心距． 生：Rt△SBM的三边分别是正棱锥的侧棱、斜高、底面正多边形边长的一半 生：Rt△OBM的三边分别是底面正多边形的边心距、底半径、底边长的一半 师：还涉及到了哪几类角呢？ 生：有线面角∠SBO，是侧棱与底面所成的角．有二面角∠SMO，是侧面与 底面所成的角． 师：所以说这个小三棱锥集中反映了正棱锥的线面关系．在正棱锥的有关 计算问题中，主要涉及以下基本元素 l，h，h＇，a，R，r，线面角、侧面和底 面所成二面角的平面角，我们看到这些基本元素通过四个直角三角形有机地联 系在一起，围成一个各个面都是直角三角形的小三棱锥．因而解题时可以将题 目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算．正棱锥中的几个重要直角三角形及 所涉及到的两类角，是正棱锥的又一性质．当然这四个直角三角形中尤其以前 两个更为重要．（稍停） 师：请同学们看例二． 求：侧棱长及斜高． （要求学生自己思考，多种方法求解） 生：连结 OA． 因为 正三棱锥 V－ABC，VO为高， 取 BA的中点D，连结 VD， 师：很好！还有其他解法吗？ 生：求斜高 VD时，不在 Rt△VAD中完成．可连结DO． 师：同学说的这两种方法都是在前面所提到的正棱锥中的基本图形中完成 的，还有其他办法吗？ （可启发学生能否在一个三角形内完成） 生：连结CO并延长交 AB于 D，连VD，则 AD=BD=3． 师：此例告诉我们，在正三棱锥中可以在基本图形小三棱锥 V－ADO中计算， 还可以利用△VCD进行计算．△VCD也集中了正三棱锥的主要基本量，是正三棱 锥的又一基本图形，这是其它正棱锥所没有的．当然不管利用上面哪种方法， 都是借助基本图形，把不相关的元素向相关元素转化． 师：下面自己完成这道课堂练习，巩固前面所获得的解题方法． 已知：正三棱锥的侧面与底面所成的角为 60°． 求：侧棱与底面所成角的正切． 师：这节课我们重点研究了正棱锥的性质，请同学们把正棱锥的性质概括 一下． （学生说教师把正棱锥的性质用投影片逐一打出） 生：正棱锥的性质： （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形． （2）正棱锥的斜高相等． （3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角： ①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直 角三角形． ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个 直角三角形． ③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形． ④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角 形． ⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角． 师：在正棱锥的计算过程中我们通常可用什么办法？ 生：可将题目中的各个量转化到其基本图形中． 师：什么是正棱锥的基本图形？ 生：就是性质中所提到了，由四个直角三角形组成的小三棱锥． 师：那么各个量转化到这个基本图形中后，又如何解决呢？ 生：可利用直角三角形的边角关系进行计算． 师：这说明什么？ 生：说明我们是在平面内解决的． 师：所以说，把空间问题有计划地转化为平面问题是解决立体几何问题的 关键． （进一步培养学生空间问题向平面问题转化的思想） 师：作业是课本 p．62，2，3． 补充题：已知：正棱锥的底面边长为 a，底面多边形的边心距 为 r，棱锥的高为 h．求：它的侧棱长． ［提示：如图 7，在 Rt△SOM中，SM2=h2＋r2． 在 Rt△SAM中， 课堂教学设计说明 本教案的教学步骤完全是围绕正棱锥的性质这个中心而展开的．为了让学 生深入认识及掌握正棱锥中的基本图形，共设计了四个层次： （1）通过对具体几何体的观察引出棱锥的概念． （2）通过棱柱及棱锥的类比引入正棱锥的概念． （3）正棱锥的性质． （4）例题与巩固练习仍以正棱锥的性质为中心，使学生对正棱锥中的基本 图形的认识更深刻、更全面． 在教学中对前两个层次宜简不宜繁，而后两个层次的教学内容才是本节课 的重点．本节课从棱锥的概念—正棱锥的概念—正棱锥的性质—正棱锥计算问 题中的思想方法，脉络清晰，容量大，有关概念与性质较多，故采用了电教手 段．把某些概念、性质或知识关键点制成了投影片，这样既节省时间，又增加其 直观性，起到事半功倍的作用．应当指出的是，在教学过程中并没有采取把正 棱锥的性质同时全部讲授给学生，而是通过对例题的分析与处理，自然而然地 引出正棱锥的最重要的性质，即正棱锥中的四个重要直角三角形．再通过学生 对图形的观察，上升到由这四个直角三角形围成的小三棱锥，引出正棱锥中的 基本图形．这样既给出了正棱锥的性质、又给出了解决正棱锥问题的解题方法． 使学生清楚地看出，把正棱锥的问题归结为四个直角三角形的计算，是解决正 棱锥问题的基础．至于正棱锥的性质，是在本节的小结中让学生自己进行了系 统的归纳．正是基于侧重讲正棱锥性质的应用、讲解题方法、讲数学思想，因而 例题与巩固练习都没有选择较难的应用性习题．本教案正是避免了出现应用正 棱锥性质计算或推理的难题，把主要精力放在先使学生认识正棱锥中的基本图 形，并认识到它的重要性，而后给出解决正棱锥有关计算问题的普遍方法．通 过本节课的教学，要让学生掌握图形中的基本图形是图形的一些基本元素所集 中的部位，它把图形的各主要元素紧密地联系在一起．掌握并熟悉这些基本图 形有助于计算和证明所给的题目．图形中的基本图形往往是变立体几何为平面 几何的最后归宿．最终点明，我们解决立体几何问题的关键，就是要有计划地 把空间问题转化为平面问题．