曲线的交点教案 2
教学目标
(1)正确理解两条曲线交点的含义，会判断两条曲线交点的状况．
(2)掌握根据曲线的方程求曲线交点的基本方法．
(3)掌握求两条曲线的两个交点间的距离的基本方法．
教学重点和难点
重点：两曲线交点的含义和求法
难点：求两条曲线两交点间距离的方法．
教学过程设计
(一)学生思考问题：两条曲线交点的代数含义是什么？两条曲线
有交点的充要条件是什么？
(二)导入新课：由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应
是两个曲线方程的公共实数解．
由两条曲线的方程组成的方程组有几个实数解，两条曲线就有几个
交点，方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．
这节课我们研究两曲线交点的有关问题：
例1、两条曲线的方程是f1(x，y)=0和 f2(x，y)=0它们的交点是
P(x0，y0)，求证方程，f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P．(λ
是任意实数)(课本108页 20题)
证明：因P(x0，y0)是两曲线f1(x，y)=0和 f2(x，y)=0的交点，所
以f1(x0，y0)=0，f2(x0，y0)=0．
因之，对任何实数λ，都有f1(x0，y0)＋λf2(x0，y0)=0，所以方程
f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线经过P(x0，y0)．
这一性质直接给出了过两条曲线的交点的曲线方程，我们无须求出
交点坐标，就能直接算出过交点的曲线方程．
这在处理有关交点的问题时，有时是比较方便的．
如：求经过P(2，1)点和两条直线l1：3x－5y－10＝0．l2：x＋y＋
1＝0的交点的直线的方程．
解 经过l1和l2交点的直线方程是
(3x－5y－10)＋λ(x＋y＋1)＝0．这里λ为参数，因P(2，1)点
在这直线上，代入直线方程(3×2－5×1－10)＋λ(2＋1＋1)＝0，
∴所求直线的方程是21x－11y－31＝0．
例 2 已知某圆的方程是x2＋y2＝2，当且仅当b为何值时，直线y
＝x＋b与圆有两个交点？两个交点重合为一点？没有交点？
解 解由两条曲线的方程组成的方程组：
要判断这个方程解的状况，从判别式入手考虑，
判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝4(2＋b)(2－b)，
所以：当且仅当－2＜b＜2时，Δ＞0，这时方程组有两个不同的实
数解，因此直线和圆有两个交点．
当且仅当b＝－2或b＝2时，Δ＝0，这时方程组有两个相同的实
数解，因此直线和圆有一个交点．
当且仅当b＞2或b＜－2时，Δ＜0，这时方程组没有实数解，因
此直线和圆没有交点．
实际上，上面三种情况，就是直线与圆相交、相切、相离．
[解法一] 先求交点，解方程组
直线被曲线截得的线段长
[解法二] 不直接求交点，
设这个一元二次方程的二根为xA，xB，
下面进行和，积，差的转化：(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB．
解法二给出了一种不直接求出交点，求直线和二次曲线交点间距离
的方法，这种方法今后会经常用到，同学们要仔细去领悟其中的道理．
(三)学生课堂练习
1．课本练习题1
得2x2＋5x＋50＝0，Δ＝25－4×2×50＜0．
方程组无解，所以直线和曲线无交点．
2．课本练习题2
若直线斜率不存在，设直线方程为x＝a，代入x2－y2＝1．a2－y2＝
1，即y2－
(a2－1)＝0，直线与曲线的公共点唯一．
Δ＝0＋4(a2－1)＝0．a2－1＝0．∴a＝±1．
直线方程为x＝±1．
(2)若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b．
代入x2－y2＝1中，(k2－1)x2＋2kbx＋b2＋1＝0．
综合(1)、(2)，与曲线x2－y2＝1只有一个公共点的直线方程是x
(四)作 业，习题7．6 9．10．11．
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