初等函数的连续性教案 1
教学目的
使同学了解一切初等函数在它们的定义域(区间)内是连续函数；掌握“利用连续函
数的定义和性质”求初等函数在其定义域内一点的极限的方法．
教学重点
理解定理“一切初等函数在它们的定义区间上都是连续函数．”
教学过程
一、复习提问
(1)复习函数 f(x)在点 x0处连续必须具备的三个条件．从而使同学更好地掌握函数
在点 x0处连续的定义．
(2)复习函数 f(x)在区间(a，b)内(或区间[a，b]上)连续的定义．
(3)复习连续函数的性质(重点是性质 2)．
(4)复习基本初等函数和初等函数的概念与内容．
二、新课
1．先给出定理：“基本初等函数在其定义域(区间)内是连续的．”
2．提问：由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，在其定义域(区间)内是
不是连续函数？为什么？(同学讨论，举例后，教师给出结论．)
3．给出定理：“如果函数 u=g(x)在点 x=x0处连续，g(x0)=u0且函数 y=f(u)在点
u=u0处连续，那么复合函数 y=f[g(x)]在点 x0处连续．
4．根据上述结论和定理．从而得出：“一切初等函数在它们的定义域(区间)内是
连续函数”这个重要结论．
5．上述重要结论给我们提供了计算初等函数极限的一种方法．这种方法就是：如
果函数 f(x)是初等函数，而且点 x0是该函数定义区间内一点，那么 f(x)在点 x=x0
例 1 利用初等函数的连续性，求极限：
例 2 求下列极限：
成立，从而得到如下解法．即：
同理可得②的解法如下：
6．利用初等函数的连续性求极限的总结．
①函数 f1(x)在点 x0处连续；
②函数 f(x)与 f1(x)在点 x0附近的函数值相等，则有：
三、小结与练习
因为有理整函数与有理分函数皆属于初等函数，因此前几节课所讲的，求当
x→x0时的有理函数的极限的问题是本节课的特例．现在可以和“利用初等函数的
连续性求极限”的内容统一起来．因此求函数极限的问题，共学过两类．即：
2．利用初等函数的连续性求极限．
练习：
四、布置作业
求下列极限：
/1
