极限教案
教学目标
1．深化数学思想方法在解题实践中的指导作用．
2．准确理解数列极限的定义，熟练应用数列极限的运算法则求极限并能解
决有关问题．
3．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的
认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问
题的能力．
重点难点
培养学生整体把握问题的能力，透过给定信息的表象，揭示问题的本质，明确解题方
向，化难为易，化繁为简，有针对性地解除学生解综合题的思想障碍．
教学过程
一、数列的极限
数列的极限完美地统一了数列形式上的有限性和实质上的无限性的矛盾．数列的极限
是极其重要的数学概念．
因此必须正确理解数列极限的定义，准确地把握数列极限的四则运
算法则应用的条件，以及 C=C(其中C是常数)． qn=0(|q|＜1)
与求无穷等比数列各项的和公式，并能熟练准确地运用它们求数列的极限．
Sn等于
[ ]
C．2
D．-2
解法二 由等比数列的性质知，S5，S10-S5，S15-S10组成公比为
项 a1的取值范围是
[ ]
故选择 D．
注意积累“利用逆向排除”的方法解选择题的经验．)
例 3 在数列{an}中，若 (2n-1)an=1，则 (nan)的值等于
[ ]
A．0
C．1
D．2
分析 逆用数列极限的运算法则时．要保证各局部的数列极限必须
例 4 设正数数列{an}为一等比数列，且a2=4，a4=16．
评述 这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，
主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求
数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
an)，…是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，…，2an+1-an，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)计算 (a1+a2+…+an)．
分析 由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分
别求出它们的通项公式构造关于an的方程组．
解 (1)设 bn=log2(3an+1-an)，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log2
3an+1-an＝2-n
①
设 cn=2an+1-an，{cn}是等比数列，公比为q，|q|＜1，c1=2a2-a1=
例 6 已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为
An，数列{bn}是首项为1，公比为q(|q|＜1)的等比数列，其前n项
Sn=B1+B2+…+Bn
(正确的分离常量和变量，根据待定系数法构造关于d和q的方程组．)
评述 本题形式新颖，解法典型，三基检查全面，强调字母运算能力；指
导学生解题后的反思，回味化归思想，待定系数法所起的作用．
例 7 数列{an}满足条件，a1=1，a2=r，(r＞0)且{an·an+1}是公比为q(q
＞0)的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n∈N)．
(1)求使不等式an·an+1+an+1·an+2＞an+2·an+3(n∈N)成立的q的取值范围；
分析 揭示{bn}与{an·an+1}的内在联系，探寻{bn}的属性；注意求极限时
由q的取值范围所带来的影响．
=q，代入 an·an+1+an+1·an+2＞an+2·an+3，得 an·an+1+q·(an·an+1)＞
q2(an·an+1)．
因为 a1=1，a2=r(r＞0)，q＞0，得 an·an+1＞0，所以1+q＞q2，即 q2-q-1＜
0，
(考查{bn}的属性，由以往的经验，首先考查是否为等比数列，若不是再另
行判定．)
比为 q的等比数列．
所以
小结 1．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，
就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方
面，就会迅速打通解题思路．
2．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，
抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题
策略．
3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教
训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
设计说明
1．本节课的例题和能力训练题选自近年来的高考试题和模拟试题，以数列
极限为主线融汇函数、方程、不等式和三角函数而成，力求方法典型，重要数学
思想方法贯穿其中，有利于提高学生解综合题的能力．
2．综合题并非无本之木，无源之水，追根寻源，即解决好整体与局部的关
系、综合与基础的关系是本节课复习的主旨．
3．教师要自始至终引导学生积极主动地参与到解决问题的过程中来，以提
高阅读理解能力为突破口，有意识地用数学思想方法分析问题，探索解决问题
的途径，达到用活用好通性通法，触类旁通的目的．
4．培养学生良好的解题习惯，力求做到步骤完整，推导论证言必有据，计
算准确迅速，格式规范，书写清晰，避免无谓失分．
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