抛物线的几何性质教案
教学内容：
1．抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
2．描点画抛物线．
教学目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描
点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．
教学过程
一、课题引入
先复习抛物线的定义、四类标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程．然后
提出：为了准确而简便地画出抛物线的图形，应对抛物线的标准方程所对应的
图形的位置有一个大体的估计，为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨
论．还应明确，把抛物线的定义与椭圆、双曲线的第二定义加以对比，提出抛物
线的离心率等于1．
二、知识讲解
1．抛物线对学生来说是比较熟悉的，有了讨论椭圆、双曲线几何性质的基
础，再讨论抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）不会遇到什么障碍
但要注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于
1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有中心，通常称抛
物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2．在抛物线的标准方程 y2＝2px（p＞0）中，令 x＝ 2
p ，则y＝±p．这就
是说，通过焦点而垂直于 x轴的直线与抛物线两交点的坐标为（ 2
p ，p），（
2
p ，－p），连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长是 2p．利用抛物线
的几何性质及抛物线上坐标为（ 2
p ，p），（ 2
p ，－p）的两点，能够方便地
画出反映抛物线基本特征的草图．
三、例题讲解
例1．已知抛物线的顶点在原点且经过点（5，5），x轴为对称轴，求这抛
物线的方程，并画出它的图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点（5，5），
故 52＝2p×5，p＝ 2
5
所以 抛物线方程为y2＝5x．列表
x 0 1.25 2 2 3 4 …
y 0 2.5 3.2 3.2 3.9 3.9 …
描点，画图，（图略）
例 2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点
处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，
可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：（见课本P99）
例3．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点
求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较
简捷．
证明：如图2-15．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2
分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，
则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜
＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
所以P0Q0是以P1P2为直径的圆 P0的半径，且 P0Q0⊥l，因而圆 P0和准线 l相
切．
四、练习与讲评
1．求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
（2）顶点在原点，准线是x＝4
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，过点 A（－2，4）
2．在同一坐标系中，画出下列抛物线的草图．
（1）y2＝2x （2）y2＝x （3） xy 2
12 （4）y2＝4x
比较这些图形，说明抛物线开口大小与方程中x的系数是怎样的关系．
3．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 1.1m，跨度是 2.2m，求拱形的抛物线
方程．
4．设抛物线y2＝4x的焦点F，准线l交x轴于 R，过抛物线上一点P（4，4）作
PQ⊥l于 Q．求梯形PFRQ的面积．
答 案
1．（1）x2＝－16y （2）y2＝－16x （3）x2＝20y
（4）y2＝－8x
2．（图略）x的系数越大，抛物线张口越大
3． yx 10
112
4．14
讲评：（1）要正确判断抛物线的标准形式．（2）注意 p＞0．（3）对于
实际问题，要合理选择坐标系．
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