0 0 类别 : 教案

aA B C O l 第十一节：共线向量与共面向量 教学目标：掌握共线向量、共面向量定理；了解有关概念。 教学重点：掌握共线向量、共面向量定理。 教学过程： 1、 复习： 1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3、平行六面体的概念 2、 授新课： 1．共线向量（平行向量）的概念 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线 向量或平行向量。a 平行于b,记作a∥b 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 （证明略） 推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知向量a 的直线，那么对 任一点O，点P在直线 l上的充要条件是存在实数t，满足 等式 OP OA t uuur uuur a ① 其中向量 a叫做直线 l的方向向量。 注：对 l上任一点 P，满足①式的实数 t是唯一的；反过 来，对一个实数 t，①式在 l上确定的 P是唯一的，即直线 l 上的点和实数 t是一一对应的。 在 l上取ABuuur =a 时，则①式可化为 OP OA t uuur uuur ABuuur，或OP (1 )t OA tOB  uuur uuur uuur ② 当 12t  时，点P是线段AB的中点，则 1OP ( )2 OA OB  uuur uuur uuur ③ ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式。它们与平面 ar α O A ar Bb Pp A' O M Aa 直线的向量参数方程和线段中点公式相同。 3．共面向量 已知平面α与向量ar，作OA auuur r，如果直线OA 平行于平面α或ar在α内，那么我们说向量ar平行于 平面α，记作ar∥α。 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 说明：⑴空间任意两个向量总是共面的； ⑵空间任意三个向量不一定共面； ⑶空间四边形ABCD中 ABuuur、 ACuuur、 ADuuur不共面。 4．共面向量定理 如果两个向量ar、br不共线，则向量 pur与向量ar、br共面的充要条件是，存在实数对 x、y，使 pur =xar +ybr 证明：如果向量 pur与向量ar、br共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数对 x、y，使 pur =xar +ybr；反之，如果存在实数对x、y，使 pur =xar +ybr，对空间任一点M作 MAuuur =ar，MBuuur =br，MAuuuur =xar，过点A作A Puuuur =ybr ,则MPuuur = pur =xar +ybr，于是点P在平 面MAB内，向量 pur∥平面MAB，即向量 pur与ar、br共面。 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条 件是存在有序实数对x、y，使MPuuur =xMAuuur +yMBuuur 或对空间任一点O，有OPuuur =OMuuuur +xMAuuur +yMBuuur ① 可以证明平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式叫做平面MAB的向 量表达式。 5．举例： A B CD O E F H G A A C B D B C D P· S · R· · Q 例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 OPuuur =xOAuuur +yOBuuur +ZOCuuur (其中 x+y+z=1)的四点 P、A、B、C是否共面。 解：原式可变形为 OPuuur =（1-y-z）OAuuur +yOBuuur +ZOCuuur , OPuuur -OAuuur =y(OBuuur -OAuuur )+Z(OCuuur -OAuuur ) AP yAB zAC uuur uuur uuur ∴点P与A、B、C共面。 例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OEuuur =k OAuuur，OFuuur =kOBuuur ,OGuuur =kOCuuur ,OHuuur =kODuuur ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC。 证明：略 三、做练习：第 31 页第 1、2 题 四、小结：1、共线向量（平行向量）的概念 2、空间向量共线的充要条件 3、共面向量的概念及向量共面的充要 条件 五、布置作业： 如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的 中点，求证：这四个点共面。