两个平面垂直的判定和性质教案
教学目的
(1)使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及它们的证明，并学会加以初
步运用．
(2)通过本节内容的引入与命题的构造、完善、论证过程，对学生进行观察、实践、猜
测、联想、分析、论证等思维能力的培养．
教具制作
用两个矩形铁丝框架焊制成两个互相垂直的平面的模型(如图 1)，并在两个平面的
交线CD上取点B，在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔BM、BN；再备两个可以插
入插孔的粗铁丝段，使插入以后可以表示二面角α－CD－β的平面角．
教学过程
一、引入新课
师：前一节课，我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念(为了本节课
“引入”的需要，特地把“α⊥β”的概念移至上节课)，今天我们学习“两个平面垂
直的判定和性质”．
(板书课题后，随即出示小黑板，引入命题．)
意取其中两个作前提，另一个作结论构造命题，能构成几个命题，并判断其真假．”
[提出问题，引起思维．]
[学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，积极思考，相互议
论；教师巡视，及时给予以个别启发、指导．
估计学生能构成三个不同的命题：
教师可鼓励学生大胆猜想与判断．对于学生回答不完善时，教师给予及时引导，
点拨．]
二、证明定理
(教师针对学生的回答先板书，再演示教具，印证“猜测”．)
师：对于命题(1)．欲证α⊥β，须判断二面角α－CD－β为直二面角，为此须
作出其平面角(图 2)．(在教具模型上，再插入线段 EM，即在β内作BE⊥CD．)这样，
得到二面角α－CD－β的平面角∠ABE，从而由∠ABE=90°证明了α⊥β．
[把问题交给学生，让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想，并在议论和印证
中发现了两个平面垂直的判定定理(暂且还未揭示)的内容及其证明方法，从而增强学生
学习中的发现因素和探索机会，有利于培养学生的思维能力和探索精神．]
[接着，在学生思考探究的基础上，让学生通过模型，考察命题(2)．]
师：(指着模型)现在让我们来考察、探究命题(2)的真假(图 3)．
(学生摆弄手中自搭的模型，观察思考着“由α⊥β，α内的直线 a能与平面β
垂直吗？”)
生甲：“不能！”
生乙：“不一定能！”
[教师肯定了后者，a不一定垂直于β，如图 3中直线 a'，故命题(2)不真．接着，
激励学生进一步探究．]
的结论成立呢？
(学生在各自的桌面上用书本、铅笔构造模型，摆弄 a在α内的各种位置后，进行
讨论并提出猜想．)
生：增加 a⊥CD的限制条件后，即能判定 a⊥β．即
师：现在，我们给出命题(2的证明．
[师生共同活动完成证明过程．再次结合教具，插入线段AN(图 2)，表示
a⊥CD，为利用α－CD－β为直二面角的条件，从而添置辅助线，插入线段 EM 图
2)，即在β内作 EB⊥CD，一方面AB⊥OD，另一方面由∠ABE=90°，得到
AB⊥BE，从而 a⊥β．]
[这里揭示了命题(2的形成过程：在处于命题(2)的阶段是初露端倪，经过分析、对
比、猜想、抽象、印证，形成了命题(2．这个过程，有利于发展学生的数学思维，如果不
讲过程，不讲背景，容易使学生的思维呆板．此外，启发学生学习的主动性与创造性
的关键不在于频繁的提问，而在于“创造问题的情境”，如本段教学中出现了命题(2)
不真的矛盾，如何使其“真”，并再证明其真，这就创造出一种使学生能够积极思维
的环境．]
[有了完善命题(2)的经验和乐趣，学生带着浓厚的兴趣投入完善命题(3)的实践
中．]
师：由摆弄模型(包括学生自搭的)可知，由α⊥β，a⊥β，显然 a不一定在α内，
如图 4中直线 a'．为了达到 a α的结论，需要增加什么条件？
生：a须经过α内的一点 P(图 4)．(教师板书．)
师：对于命题(3的证明，先请同学们回忆一下，证明直线在平面内常用什么方法？
(估计学生会回答：“同一法”或“反证法”．)
师：我们不妨用同一法试试．
(教师简述“同一法”证题的三个步骤：符合结论的作图，图形符合条件的证明，
“唯一性”的说明．接着启发、诱导．)
师：如何就本题的条件证明“a α”的结论呢？
(学生思考、议论后回答．)
生：在平面α内过点 P作 b垂直于平面α、β的交线 c，由命题(2判断 b⊥β．
(教师肯定并鼓励学生的严密思考，继续允许学生再发表意见，并启发学生另一种
证法：
师：从不同的“唯一性”为出发点，证明了命题(3．至于“反证法”的证明，同
学们课外去思考．
[“同一法”的三个步骤由教师扼要表述，这是教师给予学生在知识上的必要的铺
垫，以减少思维障碍，使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行．]
师：(画龙点睛地)通过构造命题，探索真伪，猜想论证，得到了三个正确的命题．
其中命题(1)用来判断α⊥β，故称它为两个平面垂直的判定定理；命题(2、(3称为两
个平面垂直的性质定理．现在请同学们完整而确切地表述刚才获得的三个定理．
(学生表述，教师点拨，接着要求学生打开课本，阅读两个平面垂直的判定和性质
定理．)
[充分发挥课本作用，引导学生看书、消化、回味、思考，有利于学生基础知识的学
习与巩固．]
三、巩固练习
师：现在请同学们思考解答课本中总复习参考题A的第 2题：
“如图 5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的任意点．
求证：△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面．”
要证明平面 PBC⊥平面 PAC，应该找线面垂直关系．
(让学生思索、议论．启发学生找出一条在平面 PBC内的直线BC且与平面 PAC
垂直．在学生的回答基础上，教师边复述，边写出证明过程．)
师：还有其他证法吗？
生甲：可以通过两个平面垂直的定义证明二面角B－PC－A的平面角是直角，从
而证明它们互相垂直．
因为∠ACB=90°，而它又是这二面角的平面角，所以平面 PAC⊥平面 PBC．
(教师板书此学生的想法，然后让大家议论这证法有否问题．)
生乙：这里∠ACB不是这二面角的平面角，因为 PC不垂直于AC，所以这证法
不对．
师：对，不过这个问题是肯定可以用定义证明的，关键是A－PC－B的平面角如
何作，同学们课后研究解决．
[留有悬念，并把课内引向课外．]
(小结、作业均略．)
教案说明
(1)课本中“两个平面垂直的判定和性质”一节教材仍按人民教育出版社的《教学
参考资料》的参考意见安排三课时，但在内容上作这样安排：第一课时即本课授课内容；
第二课时以课本习题为依据进行判定定理、性质定理的应用训练；第三课时进
(2)本课的结构为：“创设问题——模型实践——猜想探究——指导论证——归纳
升华——应用实践．示意图如下：
(3)本课教学在“三论”(即信息论、系统论与控制论)的指导下，首先输入一个贯穿
全课的信息源，熔“判定”与“性质”为一题，然后在教师的主导下，师生共同进行
信息加工处理．在自成系统的教学过程中，教学信息反馈及时，因而信息传输的过程
得到了有效的控制、及时的矫正，促使教学系统的各子系统实现最佳的组合．笔者把这
一教学方法称之为“三论”指导下的“引导探究法”教学．
/5
