两条直线平行和垂直的判定教案 1
教学目标 (1)引异学生深入理解两条直线平行和垂直的充要条件，
能明确地知晓这些条件的推导过程，因之，教学中要引导学生自己去推
出结论，总结记忆．
(2)初步掌握两直线平行和垂直的充要条件的应用，为今后的广泛
应用打好基础．
(3)教学中注意和学生已学习过的相关知识的紧密联系．如平面向
量的知识，二元一次方程组解的知识，经常注意拓宽学生的知识视野．
教学重点和难点
重 点 两直线平行和垂直的充要条件的推导证明及初步的应用，
充要条件的记忆．两直线中有斜率不存在的情况时，两直线平行和垂直
的判定．
难 点 两直线垂直时充要条件的推导证明，对充分条件，必要条
件的理解；两直线平行和垂直的充要条件的正确应用．两直线中有斜率
不存在的情况时，两直线平行和垂直的判定．
教学过程设计
(一)导入新课
前面我们已经研究了直线方程的五种形式，下面我们来研究平面内
两条直线的位置关系．
同学们在初中已学过平面内两条直线的位置关系有相交、平行、重合．
两直线重合即一条直线，不在我们要研究的两条直线的位置关系内，暂
且不说．我们现在研究两直线相交中的特殊情况，两条直线垂直及两条
直线平行的条件．
一、两条直线平行：
设有两条直线l1、l2，为研究方便，我们把l1、l2用斜截式表式出来：
l1：y=K1x＋b1，l2：y=K2x＋b2．
设l1与l2不重合，即b1≠b2时，请同学们推想，l1∥l2时，l1的斜
率K1与l2的斜率K2间的关系．
进一步完善．
证明(1)l1∥l2时，两直线的倾斜角相等，
α1=α2，∴tanα1=tanα2．即K1=K2．
因之，K1=K2是l1∥l2的必要条件．
(2)反过来，l1与l2不重合，K1=K2．
tanα1=tanα2，又0≤α1＜π，0≤α2＜π．
∴α1=α2，同位角相等，两直线平行．l1∥l2．
因之K1=K2是l1∥l2的充分条件．
由(1)、(2)可知，当两条直线 l1、l2不重合，且有斜率 K1、K2时，
l1∥l2的充要条件是 K1=K2．
如直线l1：2x－4y＋7=0，l2：x－2y＋5=0．
这点同学们还可以联系初中学过的二元一次方程组的解去理解．由
l1，l2组成的二元一次方程组．
行，没有交点．
如直线l1、l2的斜率不存在，我们则根据l1、l2的倾斜角去直接判断
l1与l2的位置关系．
如直线l1 2x＋7=0，l2：3x－1=0．
又如直线：l1：x－2y＋5=0．l2：3x－1=0．
直线l2的斜率不存在，倾斜角为直角．
∴l1≠l2．
二、两条直线垂直：
设直线l1垂直于直线l2，它们的倾斜角分别是α1和α2，斜率是．
K1=tanα1．K2=tanα2
(1)由图同学们可以发现
因之，K1·K2=－1是 l1⊥l2的必要条件．
(2)反过来，如果K1·K2=－1，就是tanα1·tanα2=－1．
由于0≤α1＜π，0≤α2＜π．而这里a2＞α1．
因之，K1·K2=－1是 l1⊥l2的充分条件．
我们说：K1·K2=－1．是直线l1⊥l2的充要条件．
由(1)、(2)可知，如果两条直线的斜率分别为 K1和 K2，那么这
两条直线
如直线l1：2x－4y＋7=0，l2：2x＋y－4=0．
同学们实际作图，检验结果．
如直线l1，l2的斜率不存在，我们根据l1，l2的倾斜角去直接判断
l1与l2的位置关系．如直线l1：3x＋1=0，l2：4y＋7=0．
应用举例，以学习练习为主，教师讲评．
例 1 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行．
(2)过点B(2，1)且与直线2x＋y－10=0垂直．
(3)过点C(－1，3)且与直线2x＋5=0平行．
(4)过点D(3，2)且与直线2y－3=0垂直．
[讲评]
(1)设所求直线为l，l的斜率为K．
(2)设所求直线为l，l的斜率为K，
(3)直线2x＋5=0的斜率不存在，倾斜角为90°，与y轴平行．则
可求直线与y轴平行，且过(－1，3)点，∴可求直线为x=－1．
(4)直线2y－3=0与 x轴平行，则可求直线与x轴垂直，且过
(3，2)点，∴可求直线为x=3．
例 2 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4=0与直线x－ay－1=0．
(1)平行，(2)垂直．
[讲评]
先把两条直线的斜率表示出来．
作为特殊情况，单独处理．
∴a=2或 a=－1时，两直线平行．
又a=0时，两条直线为．x＋2y－4=0．与x=1，两直线不平行．
而a=0时，两直线为x＋2y－4=0．与x=1，两直线不垂直．
(二)课堂练习
1．课本练习1．
(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直．
2．课本练习2．
(1)2x＋y－7=0．(2)x＋y－5=0．
3．课本练习3．
(1)另一条直线也没有斜率，且两条直线在x轴上的截距不相等，
(2)另一条直线的斜率为0．
4．课本练习4．
(1)当 C1≠C2时，l1与l2平行；l1与l2不可能垂直．
(2)l1与l2垂直．
(三)小结：
(1)两直线平行和垂直的判定很重要，同学们要在深入理解的基础
上，牢固记忆．
若两条直线l1与l2的斜率K1与K2都存在，
若有直线斜率不存在的情况，根据具体特殊情况，直接通过倾斜角
去判断．
(2)两条直线平行和垂直的条件，我们还可以从向量的角度去理解．
如果非零向量 V=(a，b)与直线l平行，则称V为直线的一个方向向
量．为同学们便于理解，我们把方向向量的起点移到坐标原点．
设直线l1的方向向量为(x1，y1)，直线l2的方向向量为(x2，y2)
① l1⊥l2，l1与l2共线，(x1，y1)=λ(x2，y2)．(λ≠0)．
x1=λx2，y1=λy2，
② l1⊥l2，(x1，y1)·(x2，y2)=0，x1x2＋y1y2=0．
作业，习题 7.3，1，2，3，4，5，6，7．
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