直线方程的点斜式、斜截式教案
教学目标
1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、
斜截式．
2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般
→特殊的认识规律．
3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与
创造性．
教学重点与难点
引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨
出的条件求出直线的方程．
教学过程
师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，
下面请同学们思考以下几个问题：
1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和y时，我们可以将
y=kx+b叫做什么？(二元一次方程)
2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线l
的方向，其值满足k=tanθ，因此，把k叫做直线l的斜率；“b”表示
直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)
3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程
的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都
是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫
做这个方程的直线．)
师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点
呢？你都验证了吗？
生：……
师：事实上，可以证明
证明：设P(x1，y1)在 l上，则由相似三角形性质，
所以
y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解．
反之：设(x1，y1)是 y=kx+b的解，则
所以P(x1，y1)在 l上．
师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点
之间的关系，它们是一种什么关系呢？
生：一一对应关系．
师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可
以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．
现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直
线需要几个条件？
生：两个条件．
师：哪两个条件？
生甲：需要知道k和b的值就可以了．
生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一
条直线．
师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？
生：……
师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知
k、b，求直线方程．
生：设P(x，y)为 l上任意一点，
由经过两点的直线的斜率公式得：
师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有
一般性？
生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求
直线l的方程．
师：条件改得很好！能解决这个问题吗？
生：设P(x，y)为 l上任意一点，
根据经过两点的直线的斜率公式得：
师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的
情况下其直线方程怎么表示？
生：若k不存在，则直线方程为x=0或 x=x1．
师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？
生：两种．
1)当 k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y－y1=k(x－x1)；
2)当 k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．
师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和 y
－y1=k(x－x1)解决问题时的前提条件是k存在．另外要知道这两个方程
之间的联系，即方程y=kx+b是方程y－y1=k(x－x1)的特殊形式，但两个
方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个
方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易
记的名字．
生：直线方程y－y1=k(x－x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，
因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率
和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．
师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们
理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论
的内容解决有关问题。
例 1 已知直线l的倾斜角为 0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的
方程．(打投影仪)
学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．
例 2 已知直线l的倾斜角为 90°时，求直线l经过一点
P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)
学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直
线方程为x=x1．
例 3 一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方
程，并画出图形．(打投影仪)
师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板
演)
师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需
要几个独立条件？
生：两个．
师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？
生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用
电脑演示)
师：若只知道直线l的斜率呢？
生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)
师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步
探讨．本节课需要大家理解：确定一条直线必须具备两个独立条件，并
且会根据所给条件求出直线的方程．
下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．
生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式．
师：应用这两个方程时应注意什么？
生：注意方程存在的条件是k存在．
师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的
条件，请同学们课下思考．
作业：第 20页，练习1，2，3．
第 26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)．
设计说明
本节课的教学过程主要有以下几个部分：
1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l
的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．
2．提出问题：
1)确定一条直线需要具备几个独立条件？
2)根据条件求出直线的方程．
3．需猜想：
1)确定一条直线需要知道k、b即可；
2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点；
3)……
4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点
P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程．
5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．
6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一
条直线需要具备两个独立条件．
7．例题、小结、作业．
第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔
接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学
生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引
入，自然地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．
在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解
了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研
究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．
第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代
数化，图形性质坐标化，其框图如下：
考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方
式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了
根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜
想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上
比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其
然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分
离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根
据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得
更加深刻．
关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和
截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线
方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程
的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉
及到了分类讨论的思想．
为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节
课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一
确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概
念及直线系的基本类型题．
以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视
数学思想方法和数学语言的教学、因为数学思想方法是数学知识的精髓，
是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交
流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数
学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了
由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，
在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭
遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指
导，激发不同层次的学生的学习兴趣．
/7
