0 0 类别 : 教案

不等式的性质教案 ●教学目标 (一)教学知识点 不等式的性质定理4及其推论1、推论2、定理5及其证明的方法. (二)能力训练要求 1.证明并掌握定理4及其推论1、推论2. 2.会用反证法证明定理5，并熟练运用. 3.进一步巩固不等式的性质，并能用它们作为不等式证明或推理的依据. (三)德育渗透目标 进一步巩固，熟练掌握不等式的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发创 新思维，加强实践能力的培养，提高学生的辩证唯物主义思想. ●教学重点 不等式的基本性质的运用.用不等式的基本性质来推理判断和证明其他不等式. ●教学难点 不等式基本性质中的条件的运用及其对应用问题中字母的分类讨论. ●教学方法 启发式教学法 ●教具准备 投影片一张 记作§6.1.3 A 不等式的基本性质(上一节课)： 1.反对称性 a＞b b＜a； 2.传递性 a＞b，b＞c a＞c； 3.可加性 a＞b a＋c＞b＋c； 4.加法法则 a＞b，c＞d a＋c＞b＋ d. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 打出投影片§6.1.3 A，使学生复习，巩固上一节课的内容. ［师］请同学们回顾一下，我们上一节课学习了不等式的哪些基本性质? ［生］上一节课我们学习了不等式性质中的三个定理和一个推论，它们分别是： 定理1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b. 定理2 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c. 定理3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 推论 如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d. 通过学生回答后，教师演示投影片§6.1.3 A，使学生对上一节所学内容有一个全面的 概括，为本节课学习新的内容打下基础. ［师］请同学们思考下面问题： 若５＞2，则５×3与2×3谁大呢?若５＞2，则５×（－3）与2×（－3）又如何? ［生］若５＞2，则５×3大于2×3； 若５＞2，则５×（－3）小于2×（－3）. ［师］可见，一个不等式两边同时乘以一个不为零的数，数的符号不同，所得结果也 就不同.由此，我们有下面的定理. Ⅱ.讲授新课 定理4 如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc. ［师］我们观察此题，虽然是不等式问题，实际上是以实数的运算性质与大小顺序之 间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则，通过作差，比较 ac与 bc的大小.请同 学们试着完成定理4的证明. ［生］ac－bc＝（a－b）c. ∵a＞b ∴a－b＞0 根据“同号相乘得正，异号相乘得负”，得 当c＞0时，（a－b）c＞0，即ac＞bc. 当 c＜0时，(a－b）c＜0，即ac＜bc. 故如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc. ［师生共析］此证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完 成的.注意定理 4中对 c 的讨论，因为 c的符号不同，结论也不同，但是，在定理 4中， a，b可以是全体实数，也可以是式子，不要在强调 c的符号时，限制了a，b的取值范围. 推论1 如果a＞b＞0，且c＞d＞0，那么ac＞bd. ［师］请同学们仿照定理3的推论证明定理4的推论1. ［生］∵a＞b＞0，c＞0 ∴ac＞bc ① 又∵c＞d＞0，b＞0 ∴bc＞bd ② 由①②可知，ac＞bd. ［师生共析］很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两 边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不 等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到： 推论2 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，且 n＞1）. 定理5 如果a＞b＞0，那么 nn ba  （n∈N，且 n＞1） ［师］请同学们回顾我们用“反证法”证明题的一般步骤是什么? ［生］“反证法”证题的一般步骤是： 第一步：假设命题的结论不成立，而命题结论的反面成立； 第二步：根据已知条件，结合所学知识，推出与已知条件(或已知的真命题)相矛盾的 结论，从而断定假设是错误的. 第三步：肯定原命题的结论正确. ［师］请同学们考虑：“a＞b”的反面是什么?“a≥b”的反面呢? ［生］“a＞b”的反面是“a≤b”. “a≥b”的反面是“a＜b”. ［师］针对定理 5中结论“ nn ba  ”，它的反面有两种情况： nn ba  或 nn ba  . 请同学们完成定理5的证明过程(当学生遇到困难时，教师作适当的指导). ［生］假定 n a 不大于 n b ，则有： nn ba  或 nn ba  . 由定理1和定理4的推论2可知： 当 nn ba  时， nn ba 11  ∴ nn ab 11  又∵a＞b＞0，n∈N，且 n＞1 ∴ nn ab 11  ＞0 ∴ nnnn ab )()( 11  即 b＞a 当 nn ba  时，显然有a＝b. 这些都同已知条件a＞b＞0相矛盾. 故如果a＞b＞0，那么 nn ba  （n∈N，且 n＞1）. ［师生共析］同学们观察定理4的推论2和定理5，把两者结合起来，很容易把这一性 质推广到正有理指数幂的情形，即如果a＞b＞0，S为正有理数，那么aS＞bS. ［例 4］(P ７)已知a＞b＞0，c＜0，求证 b c a c  . ［师］我们学习了不等式的性质，要掌握不等式每条性质及证明，每条性质的条件.理 解不等式的性质，是不等式变形的依据. 分析：思路一：证明不等式问题，一般利用不等式的性质做为理论依据，通过推理论 证求得结果. (引导学生运用不等式的性质证明例 4) ［生］∵a＞b＞0 ∴ab＞0 在 a＞b的两边同时乘以正数 ab 1 ，得 baab 11 11  即 又∵c＜0，由定理4，得： b c a c  故 a＞b＞0，c＜0时，有 b c a c  . 思路二：证明不等式问题，常常转化为比较两实数的大小问题，即利用作差法，结合 已知条件，通过变形(通分、有理化、因式分解等)比较 b c a c与 的大小，就可得证. (请同学们自己完成证明过程) ［生］ ab abc ab acbc b c a c )(  . ∵a＞b＞0，c＜0 ∴ab＞0，b－a＜0，c（b－a）＞0 ∴ 0 0)(  b c a c ab abc 即 故 b c a c  . Ⅲ.课堂练习 1.判断下列各命题的真假，并说明理由： (1)如果ac＜bc，那么a＜b； (2)如果ac2＞bc2，那么a＞b. 分析：以不等式性质定理为理论依据，注意不等式性质定理的应用条件，与性质定理 相违的为假，与定理相符的为真. 答案：(1)假.因 c的正负不确定，故不能两边同除以c后得与原不等式同向的不等式. (2)真.因为由ac2＞bc2 c2≠0 c2＞0，不等式两边同除以一个正数，与原不等式同 向. 2.回答下列问题： (1)如果a＞b，c＞d，是否可以推出ac＞bd?举例说明； (2)如果a＞b，c＜d，且c≠0，d≠0，是否可以推出 b c a c  ？举例说明. 分析：以不等式性质作为理论依据，进行分析判断.举反例时，只要举出一例即可否定 命题的正确. 答案：(1)不能确定.因 a＝５，b＝－3，c＝2，d＝－６时满足 a＞b，c＞d，而 ac＝ 10，bd＝1８有ac＜bd. (2)不能确定.因 a＝５，b＝－６，c＝－1，d＝2 满足 a＞ b， c＜ d，而 3,5  d b c a 有 b c a c  . 3.求证： (1)如果a＞b，ab＞0，那么 ba 11  ； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd； (3)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b. 分析：以不等式性质为依据，也可从不等式的意义出发进行推理. 答案：(1)∵a＞b，ab＞0 两边同时乘以正数 ab 1 ，得 ab 11  即 ba 11  . (本题实际上即同号两数取倒数的大小性质，以后可直接引用) (2)∵a＞b＞0，c＜d＜0 ∴当c＜d，a＞0时，有ac＜ad ① 当a＞b，d＜0时，有ad＜bd ② 综合①、②两式可得：ac＜bd. (3)∵a＞b ∴－2a＜－2b ∴c－2a＜c－2b. 4.如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求 x＋y，x－2y及 y x 的取值范围. 分析：此题涉及两个不等式之间的加、减、乘、除一定要注意同向作加、乘，异向作减、除， 乘除还有不等式左右两端都为正数的条件. 答案：∵30＜x＜42，1６＜y＜24 ∴－4８＜－2y＜－32， 16 11 24 1  y ∴30＋1６＜x＋y＜42＋24 即 4６＜x＋y＜６６； ∴30－4８＜x－2y＜42－32 即－1８＜x－2y＜10； .8 21 4 5 ,16 42 24 30   y x y x 即 ［师生共析］我们由于经常遇到不等式作减法、作除法和取倒数的运算，而教材中的不 等式性质定理及推论又缺少这些运算.因此，我们在实践过程中要充实这些内容，并在证明 之后，当作性质来用，提高认识这些问题的速度.如，在本题中，由 30＜x＜42，4８＞2y ＞32，利用异向不等式相减，直接可得－1８＜x－2y＜10.同样，由30＜x＜42，24＞y＞1 ６，作异向不等式相除，直接可得 .8 21 4 5,8 21 16 42 24 30 4 5  y x y x 即 Ⅳ.课时小结 我们学习了不等式的性质定理及其若干条推论，这些性质可分为如下三种类型：(1)反 对称性(即定理1)；(2)传递性(即定理2)；(3)不等式的运算性，它包括不等式的加、减、乘、 除、乘方、开方、取倒数等运算性质.对于这些性质我们首先要理解并记住每条性质的条件， 尤其要注意字母的符号及不等式的方向，其次要搞清楚这些性质的主要用途以及其证明的 基本方法，从而为后继课程的学习打下良好的基础. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P ８习题6.1 4.（3）、（4），５. (二)1.预习内容：课本 P ９算术平均数与几何平均数； 2.预习提纲： (1)理解命题：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）； (2)学会推导并掌握定理：如果a、b是正数，那么 abba 2 (当且仅当a＝b时，取 “＝”号). ●板书设计 §6.1.3 不等式的性质(三) 一、不等式的性质 二、不等式性质证明及应用 课时小结 定理4 定理证明 课后作业 推论1 例题 推论2 课堂练习 定理5