简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
用图解法解决简单的线性规划问题.
（二）能力训练要求
能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
（三）德育渗透目标
1.增强学生的应用意识.
2.培养学生理论联系实际的观点.
●教学重点
线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样
安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任
务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
●教学难点
根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其
是最优解是整数解.
●教学方法
讲练结合法
结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题.
●教具准备
投影片三张（或多媒体课件）
第一张：记作§7.4.3 A
内容：课本P62图7—24.
第二张：记作§7.4.3 B
内容：课本P63图7—25.
第三张：记作§7.4.3 C
内容如下：
解：设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯.则，
0
0
3000103
200054
360049
y
x
yx
yx
yx
作出可行域：
目标函数为：z=0.7x+1.2y
作直线 l:0.7x+1.2y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点
C，且与原点距离最大，此时z=0.7x+1.2y取最大值.
解方程组
,3000103
,200054
yx
yx
得点C的坐标为（200，240）.
所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题.
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，下面
我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题.
Ⅱ.讲授新课
第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的
任务量最大，收到的效益最大？
例如：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿
石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每 1 t甲种产品的利
润是600元，每1 t乙种产品的利润是 1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A
种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少
（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成下表：
产品
消耗量
资源
甲产品（1 t） 乙产品(1 t) 资源限额（t）
A种矿石（t） 10 4 300
B种矿石(t) 5 4 200
煤(t) 4 9 360
利润（元） 600 1000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，
那么
;0
,0
,36094
,20045
,300410
y
x
yx
yx
yx
目标函数为：z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A），即可行域.
作直线l:600x+1000y=0,
即直线l:3x+5y=0,
把直线 l向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，
此时z=600x+1000y取最大值.
解方程组
,36094
,20045
yx
yx
得 M的坐标为x= 29
360 ≈12.4,y= 29
1000 ≈34.4.
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.
第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量
最小.
例如：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需
三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板 x张，第二种钢板 y张，根据题意可得：
.0
,0
,273
,182
,152
y
x
yx
yx
yx
作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 B）,即可行域：
目标函数为z=x+y，
作出在一组平行直线 x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，
此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A（ 5
39,5
18 ），直线方程为x+y= 5
57 .
由于 5
39
5
18和 都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足 x，y∈Z，所以，可
行域内点( 5
39,5
18 )不是最优解.
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是
x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一
种截法是截第一种钢板 3张、第二种钢板 9张；第二种截法是截第一种钢板 4张、第二种钢
板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共 12张.
［师］下面，请同学们结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法.
［生甲］先要画出可行域.
［生乙］先要找到目标函数.
［生丙］图解法.
［师］这些同学讲得都不错，但是都不尽完善.其实，解决实际问题的关键是数学建模，
即根据题意首先将实际问题转化为数学问题.也就是同学们刚才所说的，先要找到约束条件
和目标函数.然后用图解法求得数学模型的解.
最后，还需要将数学问题的解还原为实际问题的解.即根据实际情况找得最优解.如上
述例2，需找得整点.才是最优解.
下面，请同学们打开课本P64.
Ⅲ.课堂练习
生（自练）练习 2.
［师］提示学生将已知数据列为下表：
产品
消耗量
资源
甲产品（1
杯）
乙产品(1杯) 资源限额（g）
奶粉（g） 9 4 360
咖啡(g) 4 5 2000
糖(g) 3 10 3000
利润（元） 0.7 1.2
打出投影片§7.4.3 C
［师］结合学生所做进行讲评.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，需掌握线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得
最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得
最优解.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4 3、4.
（二）1.预习内容：课本P66～67
2.预习提纲：
（1）如何将我们所学知识应用于实际生活？
（2）我们身边常会遇到哪些相关问题？
●板书设计
课 题
第一种类型 第二种类型
［例1］ ［例2］ 课时小结
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